Spur des Betreibers

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Spur des Betreibers

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Physik
Betreiber
Hilbert-Raum
Greens-Funktionen
Quantenmechanik

Kieran

Ich möchte eine Frage zu den grundlegenden Kenntnissen der Spur des An-Operators stellen. Der Betreiber $A$ Ist

A = v (G_{R} - G_{A})

$A = v (G_r-G_a)$ wobei v der Geschwindigkeitsoperator des Hamiltonoperators ist (

v = d H / d k

$v=dH/dk$ );

G_{r}

$G_r$ Und

G_{a}

$G_a$ sind verzögerte und fortgeschrittene grüne Funktionen

G_{R} = \frac{1}{E_{F} - H + ich γ}, G_{A} = \frac{1}{E_{F} - H - ich γ}

$G_r=\frac{1}{E_f-H+i \gamma},\;\; G_a=\frac{1}{E_f-H-i \gamma}$

E_{f}

$E_f$ ist die Fermi-Energie des Systems,

H

$H$ ist die Hamilton-Matrix,

i

$i$ ist die komplexe Zahl

(0.0, 1.0)

$(0.0, 1.0)$ Und

γ

$\gamma$ ist eine reelle Zahl. Ich möchte die Spur des Operators A berechnen und habe die folgende Gleichung

T R (A) = \sum_{ich} ⟨ ich | v (G_{R} - G_{A}) | ich ⟩ = \sum_{ich, ich} ⟨ ich | v | J ⟩ ⟨ J | (G_{R} - G_{A}) | ich ⟩ = \sum_{ich, J} ⟨ ich | v | J ⟩ ⟨ J | (G_{R_{ich}} - G_{A_{ich}}) | ich ⟩

$\rm{Tr}(A)=\sum_i \langle i|v(G_r-G_a)|i\rangle= \sum_{i,i} \langle i|v|j\rangle \langle j|(G_r-G_a)|i\rangle =\;\;\sum_{i,j}\langle i|v|j\rangle \langle j|(G_{r_i}-G_{a_i})|i\rangle$ Wo,

G_{r_{i}} = \frac{1}{E_{f} - e_{i} + i γ}

$G_{r_i}=\frac{1}{E_f-e_i+i\gamma}$ Und

G_{a} = \frac{1}{E_{f} - e_{i} - i γ}

$G_a=\frac{1}{E_f-e_i-i\gamma}$ . Mit anderen Worten, die Hamilton-Matrix in

G_{r}

$G_r$ Und

G_{a}

$G_a$ wird in den Eigenwert umgewandelt.

Ich möchte fragen, ob $|i\rangle$ Und $j\rangle$ müssen die Eigenvektoren des Operators sein $A$ ? Kann $|i\rangle$ Und $|j\rangle$ seien die Eigenvektoren von $H$ Matrix; nicht von der $A$ Operator?

Meine zweite Frage ist, dass angenommen $A$ ist eine 2 mal 2 Matrix und die Eigenvektormatrix $|i\rangle$ oder $|j\rangle$ von $H$ ist eine 2 mal 1 Matrix. Um zu rechnen

\sum_{ich, J} ⟨ ich | v | J ⟩ ⟨ J | (G_{R_{ich}} - G_{A_{ich}}) | ich ⟩

$\sum_{i,j}\langle i|v|j\rangle \langle j|(G_{r_i}-G_{a_i})|i\rangle$ , sollte ich die folgende Kombination verwenden.

\sum_{ich, J} ⟨ ich | v | J ⟩ ⟨ J | (G_{R_{ich}} - G_{A_{ich}}) | ich ⟩ = ⟨ 1 | v | 1 ⟩ ⟨ 1 | (G_{R_{ich}} - G_{A_{ich}}) | 1 ⟩ + ⟨ 1 | v | 2 ⟩ ⟨ 2 | (G_{R_{ich}} - G_{A_{ich}}) | 1 ⟩ + ⟨ 2 | v | 1 ⟩ ⟨ 1 | (G_{R_{ich}} - G_{A_{ich}}) | 2 ⟩ + ⟨ 2 | v | 2 ⟩ ⟨ 2 | (G_{R_{ich}} - G_{A_{ich}}) | 2 ⟩

$\sum_{i,j}\langle i|v|j\rangle \langle j|(G_{r_i}-G_{a_i})|i\rangle=\langle 1|v|1\rangle \langle 1|(G_{r_i}-G_{a_i})|1\rangle+\langle 1|v|2\rangle \langle 2|(G_{r_i}-G_{a_i})|1\rangle+\langle 2|v|1\rangle \langle 1|(G_{r_i}-G_{a_i})|2\rangle+\langle 2|v|2\rangle \langle 2|(G_{r_i}-G_{a_i})|2\rangle$ Ist mein Verständnis richtig oder nicht? Vielen Dank.

Antworten (2)

Spur des Betreibers

Benutzer245141 · Answer 1

Damit Ihre Formel gültig ist, müssen die Staaten $|i\rangle$ müssen Eigenvektoren von sein $H$ mit der Energie $e_i$ . Sonst bekommt man nicht

⟨ J | G_{R} | ich ⟩ = ⟨ J | \frac{1}{E_{F} - e_{ich} + ich γ} | ich ⟩

$\langle j | G_r | i \rangle = \langle j| \frac{1}{E_f-e_i+i\gamma} |i\rangle$ denn was du getan hast, war explizit damit zu handeln

H

$H$ auf dem Staat nach rechts. Während

| j ⟩

$|j\rangle$ irgendeine Basis von Zuständen sein könnte, ist es zweckmäßig, auch die Eigenzustände des Hamilton-Operators zu sein, da dies die Doppelsumme übergibt

i

$i$ Und

j

$j$ eine einzige Summe, da für solche Zustände

⟨ J | G_{R} | ich ⟩ = ⟨ J | \frac{1}{E_{F} - e_{ich} + ich γ} | ich ⟩ = δ_{ich, J} \frac{1}{E_{F} - e_{ich} + ich γ}

$\langle j | G_r | i \rangle = \langle j| \frac{1}{E_f-e_i+i\gamma} |i\rangle = \delta_{i,j} \frac{1}{E_f-e_i+i\gamma}$

Danke für die Antwort. Würden Sie mir bitte weitere Vorschläge zu meiner zweiten Frage machen, die ich gerade zu meinem Beitrag hinzugefügt habe?

KF Gauß · Answer 2

Die Spur jeder Matrix/jedes Operators ist gleich, unabhängig davon, welche Basis Sie verwenden, vorausgesetzt, sie sind vollständig.

Es spielt also keine Rolle, ob Sie Eigenvektoren von wählen $A$ oder $H$ , aber Sie müssen konsequent sein und die vollständige Basis verwenden.

Wenn Sie sich entscheiden, die Eigenbasis von zu verwenden $A$ , dann können Sie die Skalarenergie nicht einfach ersetzen $E_i$ für $H$ , du musst behalten $H$ ein Operateur. Die einzige Ausnahme ist, wenn Sie eine gleichzeitig diagonalisierbare Basis für haben $A$ Und $H$ , was selten vorkommt.

Während die Antwort im Allgemeinen wahr ist, ist die Formel des OP, in der man ersetzt $H$ mit seinen Eigenwerten gilt nur für die Eigenvektoren von $H$ .
@yu-v du hast recht. Lassen Sie mich diesen Punkt hinzufügen.
@KFGauss Danke für die Antwort. Würden Sie mir bitte weitere Vorschläge zu meiner zweiten Frage machen, die ich gerade zu meinem Beitrag hinzugefügt habe?

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Kieran

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Ist ⟨ψ|A^|ψ⟩=⟨ψ|B^|ψ⟩⟨ψ|A^|ψ⟩=⟨ψ|B^|ψ⟩\langle\psi|\hat{A}|\psi\rangle = \langle\psi|\hat{B}|\psi\rangle für alle |ψ⟩|ψ⟩|\psi\rangle implizieren, dass A^=B^A^=B^\hat{A} = \hat{ B}?

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