Wie leitet man den analytischen Ausdruck für die retardierte Green-Funktion mit quadratischem Hamilton-Operator ab?

Question

Wie leitet man den analytischen Ausdruck für die retardierte Green-Funktion mit quadratischem Hamilton-Operator ab?

Jack

Für zwei Operatoren gilt: $A(t)$ Und $B(t)$ Die verzögerte Green-Funktion ist definiert als

G^{R} (T, T^{'}) \equiv ⟨ ⟨ A (T) | B (T) ⟩ ⟩^{R} = - ich θ (T - T^{'}) ⟨ {A (T), B (T^{'})} ⟩

$\begin{equation} G^R(t,t') \equiv \langle \langle A(t)|B(t) \rangle \rangle^R = -i\theta(t-t')\langle \{A(t),B(t')\} \rangle \end{equation}$

dann kann man das zeigen

\begin{aligned} ich \frac{\partial}{\partial T} G^{R} (T, T^{'}) & = δ (T - T^{'}) ⟨ {A (T), B (T^{'})} ⟩ - ich θ (T - T^{'}) ⟨ {ich \frac{\partial A (T)}{\partial T}, B (T^{'})} ⟩ \\ = δ (T - T^{'}) ⟨ {A (T), B (T^{'})} ⟩ - ich θ (T - T^{'}) ⟨ {[A (T), H (T)], B (T^{'})} ⟩ \\ = δ (T - T^{'}) ⟨ {A (T), B (T^{'})} ⟩ + ⟨ ⟨ [A (T), H (T)] | B (T^{'}) ⟩ ⟩^{R} \end{aligned}

$\begin{align*} i\dfrac{\partial}{\partial t} G^R(t,t') & = \delta(t-t')\langle \{A(t),B(t')\} \rangle - i \theta(t-t')\langle \{i\dfrac{\partial A(t)}{\partial t},B(t')\} \rangle \\ & = \delta(t-t')\langle \{A(t),B(t')\} \rangle - i \theta(t-t')\langle \{[A(t),H(t)],B(t')\} \rangle \\ & = \delta(t-t')\langle \{A(t),B(t')\} \rangle + \langle \langle [A(t),H(t)]|B(t') \rangle \rangle^R \end{align*}$ Wenn der Hamiltonian

H

$H$ im Schrödinger-Bild zeitunabhängig ist, dann hängen die Korrelationsfunktionen davon ab

(t - t^{'})

$(t-t')$ , nicht auf

t

$t$ Und

t^{'}

$t'$ separat. Wir können in den Fourier-Raum gehen, der EOM wird

ω ⟨ ⟨ A | B ⟩ ⟩^{R} = ⟨ {A, B} ⟩ + ⟨ ⟨ [A, H] | B ⟩ ⟩^{R} .

$\begin{equation} \boxed{\omega \langle \langle A|B \rangle\rangle^R = \langle \{A,B\} \rangle + \langle \langle [A,H]|B \rangle\rangle^R}. \end{equation}$

Ausgehend von dieser Formel möchte ich den analytischen Ausdruck für die retardierte Greensche Funktion mit dem folgenden Hamiltonoperator ableiten $H$ (fermionisches System):

H = \sum_{k} X A_{k}^{†} A_{k} + \sum_{M \neq N} j (A_{M}^{†} A_{N} + A_{N}^{†} A_{M})

$\begin{equation} H = \sum_k x a_k^\dagger a_k + \sum_{m \neq n} y (a^\dagger_m a_n + a^\dagger_n a_m) \end{equation}$

Folgendes ist meine Lösung:

A = A_{S}, B = A_{T}^{†} \Rightarrow ω ⟨ ⟨ A_{S} | A_{T}^{†} ⟩ ⟩^{R} = ⟨ {A_{S}, A_{T}^{†}} ⟩ + ⟨ ⟨ [A_{S}, H] | A_{T}^{†} ⟩ ⟩^{R}

$\begin{equation} \boxed{A=a_s,B=a^\dagger_t} \Rightarrow \omega \langle \langle a_s|a^\dagger_t \rangle \rangle^R = \langle \{a_s,a^\dagger_t\} \rangle + \langle \langle [a_s,H]|a^\dagger_t \rangle \rangle^R \end{equation}$

\begin{aligned} [A_{S}, H] & = [A_{S}, \sum_{k} X A_{k}^{†} A_{k} + \sum_{M \neq N} j (A_{M}^{†} A_{N} + A_{N}^{†} A_{M})] \\ = \sum_{k} X {A_{S}, A_{k}^{†}} A_{k} + \sum_{M \neq N} j {A_{S}, A_{M}^{†}} A_{N} + \sum_{M \neq N} j {A_{S}, A_{N}^{†}} A_{M} \\ = X A_{S} + \sum_{N} j A_{N} (S = M \neq N) \end{aligned}

$\begin{align*} [a_s,H] & =\left[a_s,\sum_k x a_k^\dagger a_k + \sum_{m \neq n} y (a^\dagger_m a_n + a^\dagger_n a_m) \right ]\\ & = \sum_k x \{a_s,a_k^\dagger\}a_k + \sum_{m \neq n} y \{a_s,a_m^\dagger\}a_n +\sum_{m \neq n} y \{a_s,a_n^\dagger\}a_m \\ & = x a_s+ \sum_{n} y a_n \qquad (s=m \neq n) \end{align*}$

ω G_{S T}^{R} = δ_{S T} + X G_{S T}^{R} + \sum_{N} j ⟨ ⟨ A_{N} | A_{T}^{†} ⟩ ⟩^{R} \Rightarrow G_{S T}^{R} = \frac{δ_{S T} + j \sum_{N} G_{N T}^{R}}{ω - X}

$\begin{equation} \omega G_{st}^R = \delta_{st} + x G_{st}^R + \sum_n y \langle \langle a_n|a^\dagger_t \rangle \rangle^R \Rightarrow G_{st}^R = \dfrac{\delta_{st}+y\sum_n G^R_{nt}}{\omega-x} \end{equation}$

Aber dieses Ergebnis ist die endgültige Lösung? Oder wie kann ich meine Ergebnisse weiter vereinfachen?

Antworten (1)

Wie leitet man den analytischen Ausdruck für die retardierte Green-Funktion mit quadratischem Hamilton-Operator ab?

Sunyam · Answer 1

$\textbf{Quick hint:}$ Mit dieser Antwort. Sie müssen nur eine bestimmte Form von identifizieren $\mathbb{H}=\left(x-y\right)\mathbb{I}_{N \times N}^{}+ y \mathbb{J}_{N \times N}^{}$ , mit $\mathbb{I}_{N \times N}^{}$ Und $\mathbb{J}_{N \times N}^{}$ Identitätsmatrix bzw. Matrix von Einsen zu sein . $\mathbb{G}_{}^{R}(E)=\left[E\mathbb{I}-\mathbb{H}+i 0_{}^{+}\mathbb{I}\right]_{}^{-1}$ kann analytisch unter Verwendung der Sherman-Morrison-Formel gefunden werden .

Wie leitet man den analytischen Ausdruck für die retardierte Green-Funktion mit quadratischem Hamilton-Operator ab?

Jack

Antworten (1)

Sunyam

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