Wechseln zum Interaktionsbild im Jaynes-Cummings-Modell [geschlossen]

Im Jaynes-Cummings-Modell für ein Zwei-Niveau-Atom ist der Hamilton-Operator für das Atom definiert als (I let H ¯ = 1 )

H A = ω A σ z 2

und der Feld-Hamilton-Operator ist

H F = ω C A † A .

Die Wechselwirkung Hamiltonian ist

v = ( A + A † ) ( σ + + σ − ) .

Hier σ z = | e ⟩ ⟨ e | − | G ⟩ ⟨ G | ist der atomare Inversionsoperator, σ + = | e ⟩ ⟨ G | Und σ − = σ + † . Dies sind die Hebe- und Senkoperatoren für das Atom. A Und A † sind die bosonischen Vernichtungs- und Schöpfungsoperatoren.

Nun möchte ich zum Interaktionsbild gehen

v ICH = U † ( T ) v U ( T ) .

Wo U ( T ) = e − ich ( H A + H F ) T

Seit v besteht aus zwei Faktoren, einer betrifft das Feld, der andere das Atom, von dem ich annehme, dass ich schreiben kann

v = e ich ( H F ) T ( A + A † ) e − ich ( H F ) T e ich ( H A ) T ( σ + + σ − ) e − ich ( H A T .

Also müsste ich rechnen

e ich ( ω C A † A ) T ( A † ) e − ich ( ω C A † A ) T

e ich ( ω C A † A ) T ( A ) e − ich ( ω C A † A ) T

e ich ( ω A σ z 2 ) T ( σ + ) e − ich ( ω A σ z 2 ) T

e ich ( ω A σ z 2 ) T ( σ − ) e − ich ( ω A σ z 2 ) T

Mein Problem liegt hier, ich weiß nicht wie ich weiter vorgehen soll.

Ich habe daran gedacht, so etwas zu verwenden [ A , U ( A † A ) ] | N ⟩ aber ich komme hier nicht weiter.

Antworten (1)

Es gibt viele Möglichkeiten, diese Berechnung durchzuführen. Am einfachsten ist es vielleicht, das Objekt zu betrachten A ( T ) = e ich ω C T A † A A e − ich ω C T A † A als Lösung der Differentialgleichung

A ˙ ( T ) = − ich ω C A ( T ) .
Das kannst du zeigen A ( T ) erfüllt diese Gleichung durch direkte Differenzierung nach der Zeit. (Sie müssen die Tatsache nutzen, dass D D T e A T = A e A T = e A T A , für einen beliebigen Operator A .) Nun ist es einfach zu überprüfen, ob die Lösung der obigen Gleichung ist
A ( T ) = e − ich ω C T A ( 0 ) .
Beachten Sie, dass diese Eigenschaft direkt aus der Tatsache folgt, dass A ist ein Absenkoperator, dh er erfüllt die Vertauschungsrelation
[ H F , A ] = − ω C A .
(Zum Beweis benötigen Sie die Identität [ A B , C ] = A [ B , C ] + [ A , C ] B für beliebige Operatoren A , B Und C .) Eine analoge Lösung gilt für die atomaren Operatoren σ ± , die Absenkungsoperatoren bezüglich des Hamiltonoperators sind H A .

Danke, ich habe versucht, die von Ihnen erwähnte Kommutierungsbeziehung zu beweisen, aber das gelingt mir nicht. Das Problem liegt darin, was mit den Erhöhungs-/Senkungsoperatoren im Exponenten passiert. Möchten Sie den Beweis teilen?
@JDH Ich habe die Antwort mit einigen Hinweisen für Sie bearbeitet.
Ich kann die Differenzierung nicht ganz richtig hinbekommen, durch Differenzieren bekomme ich sie A ˙ = ich ω ( A † A A ( T ) − A ( T ) A † A ) = ich ω [ A † A , A ( T ) ] . Unter Berücksichtigung von e ± ich H F T als Operatoren ergibt dies nicht die richtige Antwort. Wo mache ich einen Fehler?
@JDH Eigentlich ist das die richtige Antwort, obwohl Sie noch nicht ganz dort sind. Sie müssen die Tatsache verwenden, dass ein Operator A pendelt mit seiner Exponentialfunktion e A T .
Wechseln zum Interaktionsbild im Jaynes-Cummings-Modell [geschlossen]
AntwortenHierDatenschutz-Bestimmungen1y, 1v