Greensche Funktion in der Lippmann-Schwinger-Gleichung

Bei der Ableitung des Streuquerschnitts unter Verwendung der Lippmann-Schwinger-Gleichung müssen wir die durch definierte Greensche Funktion berechnen

$$G(\mathbf{r},\mathbf{r'},E)=\langle\mathbf{r}|\frac{1}{E-H+i\epsilon}|\mathbf{r'}\rangle$$ Wo $H=\frac{p^2}{2m}$repräsentiert den freien Teilchen-Hamiltonoperator. Dies kann berechnet werden als $$G(\mathbf{r},\mathbf{r'},E)=-\frac{2m}{\hbar^2}\frac{e^{ik|\mathbf{r}-\mathbf{r'}|}}{4 \pi |\mathbf{r}-\mathbf{r'}|}$$ und sollte per definitionem befriedigen $$(E-H)G(\mathbf{r},\mathbf{r'},E)=\delta^3(\mathbf{r}-\mathbf{r'})$$ Letzteren Ausdruck versuche ich schriftlich zu verifizieren $H=-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2$und Arbeiten durch die Derivate mit $\mathbf{R}=\mathbf{r}-\mathbf{r'}$um die Sache ein wenig zu vereinfachen. Meine Methode besteht darin, die Identität zu verwenden $$\nabla^2(fg)=f\nabla^2g+2\nabla g.\nabla f+g\nabla^2f$$ um die Wirkung zu berechnen $\nabla^2$auf die Green-Funktion, bevor Sie alles zusammen addieren $E=\frac{\hbar^2k^2}{2m}$zu bekommen $$(E-H)G(\mathbf{r},\mathbf{r'},E)=e^{ik|\mathbf{r}-\mathbf{r'}|}\delta^3(\mathbf{r}-\mathbf{r'})$$ was leicht falsch ist. Wenn ich darüber nachdenke, sehe ich keine Möglichkeit, wie die mathematischen Operationen von durchgeführt werden $E-H$kann diesen zusätzlichen unerwünschten Faktor aus dem Endergebnis verschwinden lassen. Gibt es einen Fehler in irgendetwas, was ich gesagt habe, oder gibt es eine offensichtliche Stelle, an der ich diesen Faktor aufgegriffen habe? Danke für jede Hilfe.