Wie man die Äquivalenz zweier Definitionen des Streuquerschnitts beweist

Zunächst ist es wichtig zu bedenken, dass die Teilchenstreuung ein inhärent quantenmechanischer Prozess ist. Die Beschreibung des „effektiven Zielbereichs“ ist nichts weiter als eine suggestive klassische Metapher, um eine Intuition für diesen nicht-klassischen Prozess bereitzustellen.

In dieser Metapher stellen wir uns vor, dass unser einfallender Teilchenstrahl zusammengesetzt ist$dN_{\rm incoming}$Partikel, die gleichmäßig über Patches mit Querschnittsfläche verteilt sind$A_{\rm beam}$und Tiefe$dl$entlang des Strahlengangs. Der Fluss der einfallenden Teilchen ist daher$v \,dN_{\rm incoming}/(A_{\rm beam} dl)$wobei v die Teilchengeschwindigkeit ist.

Ein Teil der Partikel in jedem ankommenden Patch wird in einen Raumwinkel gestreut$d\Omega$. Welcher Bruchteil ist das? Um das herauszufinden, stellen wir uns vor, dass der gesamte Scatterer in viele Komponenten-Target-Typen unterteilt ist, die den Weg der Partikel bestimmen, die sie treffen. Die Geschwindigkeit, mit der Partikel auf einen bestimmten Targettyp treffen, ist dann einfach der Partikelfluss multipliziert mit der gesamten Querschnittsfläche von Targets dieses Typs, gegeben durch$d\sigma / d\Omega$. Mit anderen Worten,

$$\frac{dN_{\rm scattered}}{d\Omega dt} = \left( v \frac{dN_{\rm incoming}}{A_{\rm beam} dl}\right) \frac{d\sigma}{ d\Omega}$$

So wie wir den Strahl beschrieben haben,$v = dl/dt$, und nach Multiplikation beider Seiten mit der Fläche des Balkens$A_{\rm beam}$und das Zeitintervall$dt$damit die Partikel im Strahlfeld auf die Targets treffen, erhalten wir

$$\begin{equation} \frac{dN_{\rm scattered}}{d\Omega} \, \bigg / \, dN_{\rm incoming} = \frac{d\sigma}{d\Omega} \bigg / A_{\rm beam} \label{fraction} \end{equation}$$

Mit anderen Worten, der Anteil der Teilchen im Strahlfleck, der in den Raumwinkel d gestreut wird$\Omega$ist durch das Verhältnis der Querschnittsfläche des Targets gegeben$d\sigma/d\Omega$zum Strahlbereich$A_{\rm beam}$.

Das Gleichsetzen der RHS hier mit dem quantenmechanischen Ausdruck für die LHS, wie er von Landau gegeben wurde, etabliert eine Definition für$d\sigma / d\Omega$in Form eines effektiven Streuzielbereichs, wie in dem Buch von Feynman und Hibbs angegeben.

Als nächstes möchten wir vielleicht das Ausmaß quantifizieren, in dem Partikel im einfallenden Strahl in eine beliebige Richtung gestreut werden. Teilchen, die ihren Einfallsweg ohne Streuung fortsetzen, tragen nichts zum Streuraumwinkel bei, da ihre "gestreute" Richtung ein Punkt der Dimension Null auf der Einheitskugel ist, der gestreute Richtungen darstellt. Wir integrieren unsere Gleichung für den Anteil gestreuter Teilchen über den Raumwinkel, um zu erhalten

$$\begin{equation} \frac{dN_{\rm scattered}}{dN_{\rm incoming}} = \frac{\sigma}{A_{\rm beam} } \end{equation}$$

Wo$\sigma = \int (d\sigma / d\Omega) \, d\Omega$. Wir haben also wieder eine Möglichkeit, uns die Streuwahrscheinlichkeit in Form eines effektiven Zielbereichs vorzustellen.

Denken Sie daran, dass es in Wirklichkeit keine kleinen Flächenziele gibt$d\sigma/d\Omega$, gibt es quantenmechanische Streuamplituden. Was wir hier gemacht haben, ist eine klassische Analogie dafür$\sigma$so dass es am Ende dasselbe Ergebnis liefert wie die quantenmechanische Berechnung.