Quantenstreuungsproblem in anisotropem Medium

Nach der Änderung der Variablen ist das Problem äquivalent zur Lösung der 2D-Helmholtz-Gleichung.

$$\nabla'^2\psi + A^2\psi = 0$$

Wenn der Rand kreisförmig geblieben wäre, wäre der radiale Teil der Lösung eine Hankel-Funktion erster Art, die asymptotisch als geht

$${H_{n}^{(1)}(k r')\sim {\sqrt {\frac {2}{\pi k r'}}}\exp \left(i\left(k r'-{\frac {n \pi }{2}}-{\frac {\pi }{4}}\right)\right)},$$ in den gestrichenen Koordinaten wäre die Lösung also von der Form $$\psi_{ref}\sim \frac{e^{ikr'}}{\sqrt{r'}}.$$ In 2D zerfällt die Lösung radial als ${r'}^{-1/2}$, im Gegensatz zum 3D-Fall, der als zerfällt ${r'}^{-1}$.

Leider wird in Ihrem Fall die Grenze elliptisch. Obwohl sich das asymptotische Verhalten nicht ändern sollte, ist die eigentliche Lösung etwas komplizierter. Von nun an werde ich das Problem betrachten, das in den neuen Koordinaten ausgedrückt wird, also lasse ich der Kürze halber die Primzahlen weg. Auch davon gehe ich ohne Einschränkung der Allgemeinheit aus$\alpha>1$, sodass die Grenze eine Ellipse mit Brennpunkten bei bildet$(-c,0)$Und$(c,0)$, Wo

$$c = r_0 \sqrt{\frac{\alpha-1}{\alpha}}$$ und die Elliptizität $$e = \sqrt\frac{\alpha-1}{\alpha}.$$

Solche Probleme werden am besten in den elliptischen Koordinaten gelöst$(\mu,\theta)$, Wo

$$\begin{aligned} x &= c \cosh \mu \cos \theta \newline y &= c \sinh \mu \sin \theta. \end{aligned}$$

Linie$\mu=const$ist eine geschlossene Ellipse mit den gleichen Brennpunkten wie die Grenze, mit$c \cosh \mu = r_0$an der Grenze. Linie$\cos\theta = cost$ist eine Familie von konzentrischen Parabeln. In den neuen Variablen nimmt die Helmholtz-Gleichung die Form an

$$\frac{\partial^2\psi}{\partial \mu^2} + \frac{\partial^2\psi}{\partial\theta^2} + c^2A^2 \left[\cosh^2\mu - cos^2 \theta \right]\psi = 0,$$ die Lösungen der Form annimmt $$\psi_n = M_n^{(1)}(c A,\mu)\left[C c_n(c A,\theta) +D s_n(c A,\theta)\right].$$

Funktionen$c_n(c A,\theta)$Und$s_n(c A,\theta)$sind periodische Lösungen der Mathieu-Gleichung. Sie bilden eine orthogonale Basis und z$c\rightarrow 0$Sie gehen nach$\cos(n \theta)$Und$\sin(n \theta)$bzw. Die Familie$M_n^{(1)}(c^2 A,\mu)$sind Lösungen der modifizierten Mathieu-Gleichung, die asymptotisch zu gehen$H_n^{(1)}(\sqrt 2 c A e^\mu)$.

Der letzte Schritt besteht darin, die Randwertbedingung an der Ellipse auszudrücken

$$\psi_{ref} = - \psi_{inc} = - e^{i k r_0 \cos\theta}$$ als Linearkombination von $s_n$Und $c_n$.

Das Studium der Mathieu-Funktionen ist ziemlich technisch und eine vollständige Lösung des Problems würde den Umfang dieser Antwort überproportional sprengen. Stattdessen werde ich auf einige Ressourcen hinweisen, die alle Werkzeuge bereitstellen können, die Sie benötigen, um es selbst durchzuführen.

• Für eine allgemeine Einführung in Mathieu-Funktionen und ihre Beziehung zur Helmholtz-Gleichung, siehe Morse & Feshbach "Methods of theory physics", vol. 1 und Bd. 2, Kapitel 5 und 11.
• Für mehr Details, aber weniger Physik, siehe Abramowitz und Stegun, Handbook of Mathematical Functions , Kapitel 20.
• Für die zur Durchführung der Erweiterung der Randbedingungen erforderlichen Integrale siehe Gradshteyn und Ryzhik, "Table of integrals Series and Products", 6.924.

Da es sich bei allen dreien um klassische Nachschlagewerke handelt, sollte es Ihnen nicht schwerfallen, ein Exemplar zu finden.