Streutheorie

In der nicht-relativistischen quantenmechanischen Streutheorie kann man einen Ausdruck für den differentiellen Streuquerschnitt unter der Bornschen Näherung erster Ordnung herleiten als

D σ D Ω = | F ( θ ) | 2
Wo
F ( θ ) = − M 2 π ℏ 2 ∫ A l l S P A C e e ich Q ⋅ R v ( R ) D 3 R
Wo Q = k − k ' ist die Differenz zwischen dem ankommenden und dem detektierten Wellenvektor und v ( R ) ist das betrachtete Potenzial. Dieser Ausdruck ist einfach die Fourier-Transformation des Potentials in Bezug auf die Variable Q .

Meine Notizen besagen dann, dass dies impliziert, dass man ein High braucht, um ein kleines Objekt zu untersuchen P = ℏ k . Sieht jemand, wie dies aus den obigen Ergebnissen folgt? Danke schön.

Intuitiv, wenn das Produkt Q → R → klein ist, ist der Exponentialterm im Grunde konstant, d. h. das Integral ist nahezu proportional zum Volumenintegral des Potentials und das Integral ist unempfindlich gegenüber Schwankungen des Potentials, wo es groß ist (klein R ). Wenn Sie es genauer betrachten, ist dies dem optischen Auflösungsproblem sehr ähnlich, das eine naive Lösung aus dem 19 F ( θ ) ) berücksichtigen.

Antworten (1)

Als was in die Formel eingeht ist Q anstatt k , würde ich sagen, wir brauchen ein High Q (was natürlich ein High impliziert k , wegen Erhaltung von Energie/Impuls). Zum Beispiel, wenn k ist sehr hoch, aber Q nicht ist, bedeutet dies, dass es kaum Streuung gab, was bedeutet, dass Sie eigentlich nichts gemessen haben. Das bedeutet, dass Sie eigentlich ein High brauchen Q .

Nun, warum sollten wir ein High brauchen? Q um kleine Objekte zu messen? Nun, die Antwort ist ziemlich einfach: wegen der Eigenschaften der Fourier-Transformation .

Es ist bekannt, dass die niedrigen Frequenzen (gelesen, niedrig Q ) der Fourier-Transformation kodieren die groben Eigenschaften eines Bildes und die hohen Frequenzen kodieren die Details 1 :

Geben Sie hier die Bildbeschreibung ein

Am Ende läuft alles auf die Unschärferelation hinaus Δ X Δ k ≥ 1 , was eigentlich eine Eigenschaft der Fourier-Transformation ist !

1 siehe zum Beispiel http://www.robots.ox.ac.uk/~az/lectures/ia/lect2.pdf

Um also eine scharfe Bildintensitätsfunktion (entsprechend einem hochauflösenden Bild) zu erzeugen, müssen wir die Hochfrequenzkomponenten in die Fourier-Transformation einbeziehen. Um diese Analogie zur Streuung zu machen, müssen wir, um einen scharfen differenziellen Wirkungsquerschnitt zu erzeugen, genügend hochfrequente Komponenten in der Fourier-Transformation haben (d.h. einen hohen Q ). Ich denke, die Frage, die bleibt, ist, warum Sie mit einem „scharfen“ differentiellen Querschnitt ein kleines Objekt besser untersuchen können.
Ich denke, der beste Weg, dies zu betrachten, ist anzunehmen, dass wir einen geringen Impuls haben - hier erhalten wir eine fast gleichmäßige Streuung der Partikel, da der Streuquerschnitt nicht stark variiert. Andererseits können wir bei hohem Impuls, bei dem der Fluss gestreuter Teilchen mit der Position signifikant variiert, viel mehr über die Struktur des Streukörpers ableiten (wie Rutherford die Existenz eines Kerns aus dem signifikant variierenden Fluss mit dem Streuwinkel ableitete). Ist das richtig?
@Watw ja, genau darum geht es. Wir brauchen eine hohe Dynamik, um ausreichend empfindliche Daten aus den Experimenten zu erhalten. Wenn Sie sich das ankommende Teilchen als ebene Welle vorstellen (Born-Näherung), dann e − ich k ⋅ R stellt die ankommende Welle dar. Wenn Sie Details in einer Längenskala messen möchten R , dann haben Sie besser k R ∼ > 1 , weil sonst e − ich k ⋅ R wird über den interessanten Werten von nahezu konstant sein R ∼ R . Daher, wenn R klein ist, müssen Sie einen hohen Wert von verwenden k .
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