Formfaktor in Rutherford-Streuung

Meine Diskussion folgt im Wesentlichen diesem Artikel.

Formfaktoren sind ein intuitives und einfaches Werkzeug zur Beschreibung der Streupartikel von erweiterten Zielen. Hier werde ich zeigen, wie der Formfaktor im Zusammenhang mit der Streuung von spinlosen Elektronen zustande kommt

Wie bei vielen Streuexperimenten interessiert uns die Größe des differentiellen Wirkungsquerschnitts$\frac{d\sigma}{d\Omega}$unserer gestreuten Elektronen von unserem Ziel. Der differentielle Wirkungsquerschnitt hängt mit den Streuamplituden zusammen durch die Beziehung:

$$\frac{d\sigma}{d\Omega}=\frac{k}{k_i}|f(\theta,\phi)|^2$$ Wo $\theta$ist der Streuwinkel.

Die Streuamplituden$f(\theta,\phi)$kann in angenäherter Form mit der Born-Näherung erhalten werden. In erster Ordnung (und bis auf eine Normalisierung) kann die Born-Approximation geschrieben werden als:

$$f_{B1}=\int\phi_{k_f}^*(\vec{r})V(\vec{r})\phi_{k_i}(\vec{r})d^3\vec{r}$$

In der ersten Born-Näherung werden die anfänglich einfallende Welle und die ausgehenden Wellen als ebene Wellen der Form angenommen:

$$\begin{align} \phi_{k_i}(\vec{r})=e^{ik_i\cdot r}\\ \phi_{k_f}(\vec{r})=e^{ik_f\cdot r} \end{align}$$

Wir können eine erweiterte Ladungsverteilung durch beschreiben$Ze\rho(\vec{r})$mit

$$\int\rho(\vec{r})d^3\vec{r}=1$$

In diesem Fall ist das Potential, das ein Elektron erfährt, bei$\vec{r}$ist durch das Columb-Potential gegeben:

$$V(\vec{r})=-\frac{Ze^2}{4\pi\epsilon_0}\int\frac{\rho(\vec{r}')}{|r-r'|}d^3\vec{r}'$$

Und dieses Potential in den allgemeinen Ausdruck für die erste Born-Näherung für die Streuamplituden einzusetzen$f(\theta,\phi)$gibt

$$f_{B1}=-\frac{Ze^2}{4\pi\epsilon_0}\int e^{\frac{iq\cdot r}{h}}\int\frac{\rho(\vec{r}')}{|r-r'|}d^3\vec{r}d^3\vec{r}'$$

Die Substitution vornehmen$\vec{R}=\vec{r}-\vec{r}'$und das zu bemerken$d^3\vec{R}=d^3\vec{r}$

$$f_{B1}=-\frac{Ze^2}{4\pi\epsilon_0}\int \frac{e^{\frac{iq\cdot \vec{R}}{h}}}{\vec{R}}d^3\vec{R} \left[\int e^{\frac{iq\cdot \vec{r}'}{h}}\rho(\vec{r}')d^3\vec{r}'\right]$$

Dieser eingeklammerte Faktor ist als Formfaktor bekannt .$F(q)$.

$$F(q)=\int e^{\frac{iq\cdot \vec{r}'}{h}}\rho(\vec{r}')d^3\vec{r}'$$

Es kann gezeigt werden, dass wenn der Ausdruck für$f_{B1}$dient der Bestimmung$\frac{d\sigma}{d\Omega}$, Das:

$$\frac{d\sigma}{d\Omega}=\left(\frac{Ze}{4E}\right)^2\frac{1}{sin^4(\theta/2)}|F(q)|^2$$

Dieser Ausdruck kann intuitiv als durch das Quadrat des Formfaktors modulierte Rutherford-Streuung interpretiert werden. Mit anderen Worten, die Elektronenstreuung an einer ausgedehnten Quelle ist gleich der Streuung an einer durch den Formfaktor modulierten Punktquelle .