Warum eignet sich der Plane-Wave-Ansatz für Streuquerschnitte eines lokalisierten Teilchenstrahls?

Diese Frage ist ein Nebenprodukt dieser verwandten Frage: Warum hängt die Bornsche Näherung für die Streuamplitude vom Potential ab? v überall im Raum, im Gegensatz zur klassischen Streuung? Diese Frage beschäftigt sich mit einem im Großen und Ganzen ähnlichen Thema, nämlich der Lösung von Streuproblemen „lokal“, dh ohne das Potenzial zu kennen v überall im Raum, was bei klassischer Streuung möglich ist.

In der Lehrbuchherleitung des Streuwirkungsquerschnitts (z. B. Griffiths QM) suchen wir nach Lösungen der Schrödinger-Gleichung, die die Form haben

ψ ∝ e ich k z + F ( θ ) e ich k R R

Wo F die Streuamplitude hat die Interpretation, dass | F | 2 = D σ D Ω . Ich verstehe Querschnitte so, dass sie sich auf die Dämpfung eines Teilchenstrahls beziehen, aber ein Teilchenstrahl ist auf eine Weise lokalisiert, wie es eine ebene Welle nicht ist. Schreibt man Wellenpakete in einem Teilchenstrahl als Linearkombination ebener Wellen ψ Strahl = ∑ k ∈ K A k e ich k z , würden wir nicht finden, dass die geeignete Streuamplitude einige ist F ~ = ∑ k ∈ K F k ≠ F davon ab, die Schrödinger-Gleichung für jede ebene Welle zu lösen? Gibt es eine Identität wie D σ D Ω = | F ~ | 2 = | F | 2 oder σ Knirps = ∫ 0 π | F ~ | 2 Sünde ⁡ θ D θ = ∫ 0 π | F | 2 Sünde ⁡ θ D θ ?

Antworten (2)

Die quantenmechanische Streutheorie ist ein schwieriger Kompromiss zwischen Wellenphänomenen einerseits und der klassischen Sichtweise der Teilchenstreuung andererseits. Genau wie eine elektromagnetische Welle existiert die Streulösung überall im Raum - was sie wirklich von einem Eigenwertproblem unterscheidet, ist, dass es sich um eine sich ausbreitende (und nicht um eine stehende) Welle handelt, die über die entsprechenden Randbedingungen (d ausgehende Wellen). Dies stimmt auch mit der klassischen Sichtweise der Streuung in dem Sinne überein, dass das einfallende Teilchen einen wohldefinierten Impuls hat.

Es gibt zwei Hauptgründe, warum man in diesem Zusammenhang von Wellenpaketen spricht. Einer ist pädagogisch – da es hilft, die Verbindung mit einem intuitiveren Bild der Streuung herzustellen, wenn Partikel auf ein Hindernis treffen. Ich persönlich finde solche Erklärungen verwirrend, aber ich nehme an, es hilft einigen Leuten, so zu denken. Der zu zahlende Preis ist etwas verwirrend.

Der tiefere Grund, von Wellenpaketen zu sprechen, liegt darin, dass sich eine streuende Welle realistischerweise nicht durch den gesamten Raum erstrecken und ewig existieren könnte. Das bedeutet, dass es sich tatsächlich um ein Wellenpaket handelt, dessen Größe durch die Geometrie und die Dauer unseres Experiments bestimmt wird.

In Bezug auf die Formeln: Sie beziehen die Größen auf dieselbe Energiehülle (die Größen der Impulse können bei einigen Problemen wirklich variieren) und werden im Hinblick auf das Wellenbild besser verstanden / interpretiert. Die allgemeine Beziehung zwischen dem Querschnitt und der Streuamplitude (für alle Ordnungen im Streupotential) ist als optisches Theorem bekannt .

Wenn ich Ihre Frage richtig verstehe, lautet die Antwort ja - unter der Annahme, dass eine ebene Wellenlösung eine Wellenfunktion der Form ergeben würde

ψ k ( R , T ) = e ich ( k z − ω k T ) + F k ( θ ) e ich ( k R − ω k T ) R

also würde eine Wellenpaketlösung die Form annehmen

Ψ ( R , T ) = ∫ D 3 k   A ( k ) e ich ( k ⋅ R − ω k T ) ⏟ ankommender Strahl + ∫ D 3 k A ( k ) F k ( θ ) e ich ( k R − ω k T ) R

im asymptotischen Bereich, in dem das Potential (effektiv) Null ist.

Warum eignet sich der Plane-Wave-Ansatz für Streuquerschnitte eines lokalisierten Teilchenstrahls?
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