Warum kann der Wirkungsquerschnitt direkt aus den stationären Streuzuständen erhalten werden?

Ich studiere derzeit Streutheorie in dem Buch Quantum Mechanics, Vol. 2 von Cohen-Tannoudji. In dem Buch leitet der Autor ab, die Anzahl der Teilchen zu finden, die weit entfernt vom Ziel an einer beschriebenen Position detektiert werden$(\theta,\phi)$innerhalb der Gegend$d\Omega$wir müssen nur den Streuquerschnitt finden$\sigma(\theta,\phi)$, so dass$dn = F_i \sigma(\theta,\phi) d\Omega$, Sein$F_i$die Intensität des Strahls.

Der Autor stellt dann fest:

Um die Streuung eines bestimmten einfallenden Teilchens an einem Potential quantenmechanisch zu beschreiben$V(\mathbf{r})$, ist es notwendig, die zeitliche Entwicklung des Wellenpakets zu untersuchen, das den Zustand des Teilchens darstellt.

Um die Berechnungen zu vereinfachen, werden wir unsere Überlegungen direkt auf die stationären Zustände und nicht auf Wellenpakete stützen.

In diesem Fall betrachtet er eine feste Energie$E$und sucht nach einem Eigenzustand$|\varphi\rangle$von$H$mit dieser Energie. Die Entwicklung dieses Zustands ist offensichtlich$|\varphi(t)\rangle = e^{-iE/\hbar t}|\varphi\rangle$. Der Autor gibt an, dass dies die gleiche kinetische Energie des einfallenden Teilchens ist, bevor es die Einflusszone des Ziels erreicht.

Der Autor stellt dann zu diesem Verfahren fest:

Daher werden wir unter Verwendung von Wellenpaketeigenschaften auf intuitive Weise die Bedingungen spezifizieren, die den Lösungen von auferlegt werden müssen$H|\varphi\rangle = E|\varphi\rangle$wenn sie zur Beschreibung eines Streuprozesses verwendet werden sollen. Die Eigenzustände des Hamiltonoperators, die diese Bedingungen erfüllen, nennen wir stationäre Streuzustände .

Endlich rechnen$\sigma$und daher$dn$der Autor verwendet die Wahrscheinlichkeitsströme. Er überlegt$\mathbf{J}_i$der einfallende Strom unter Berücksichtigung der Wellenfunktion zu sein$e^{ikz}$.

Der springende Punkt meiner Frage ist, dass der Autor dann einfach die Wellenfunktion auswählt$\varphi(\mathbf{r})=\langle \mathbf{r}|\varphi\rangle$mit Energie dem stationären Streuzustand zugeordnet$E$, nennt die entsprechende Wahrscheinlichkeit aktuell$\mathbf{J}_d$und sagt

Ebenso die Zahl$dn$der Teilchen, die pro Zeiteinheit auf die Öffnung des Detektors treffen, ist proportional zum Fluss des Vektors$\mathbf{J}_d$über die Oberfläche$dS$dieser Eröffnung:

$$dn = C\mathbf{J}_d\cdot dS.$$

Daraus gewinnt der Autor$\sigma$. Mein ganzer Punkt hier ist:

Bevor ich dies lese, wäre die meiner Meinung nach natürlichste Herangehensweise an das Problem: Wenn wir den Anfangszustand kennen, entwickeln wir ihn mit der Zeit gemäß dem Hamilton-Operator$H = H_0 + V$im Wirkungsbereich des Potentials. Mit Kenntnis der zeitlichen Entwicklung des Anfangszustands berechnen wir die Wahrscheinlichkeit, das einfallende Teilchen innerhalb des Bereichs zu finden$d\Omega$befindet sich$(\theta,\phi)$weit vom Ziel entfernt.

Das heißt: Wir verfolgen die Entwicklung des Teilchens, um zu sehen, was damit passiert.

Der Ansatz des Autors, der, wie ich herausfand, der Standardansatz ist, basiert nur auf den sogenannten stationären Streuzuständen . Das heißt, anstatt zu verfolgen, was mit dem Zustand des Teilchens passiert, finden wir am Ende die Lösung auf bestimmten Eigenvektoren des Hamilton-Operators.

Was steckt dahinter? Warum reicht die Kenntnis einiger Eigenzustände des Hamiltonoperators aus, um den Streuwirkungsquerschnitt zu finden?