Berechnung des Wahrscheinlichkeitsstroms für das Streuproblem

Ich versuche, den Wahrscheinlichkeitsstrom für ein Streuproblem zu berechnen. Das Potenzial ist v = v 0 > 0 In X > 0 , mit E > v 0

Also ich habe in der Region X ≤ 0 :

ψ = exp ⁡ ( ich k X ) + R exp ⁡ ( − ich k X )

Und in X > 0

ψ = T exp ⁡ ( ich κ X )

Ich versuche, den Wahrscheinlichkeitsstrom zu berechnen, J = − ich H 2 M ( ψ ¯ ψ ' − ψ ' ¯ ψ ) , in jeder Region und zeigen, dass es gleich ist.

Wenn ich jedoch den Wahrscheinlichkeitsstrom in berechne X < 0 , Ich bekomme:

ψ ¯ = exp ⁡ ( − ich k X ) + R ¯ exp ⁡ ( ich k X )
ψ ' = ich k exp ⁡ ( ich k X ) − ich k R exp ⁡ ( − ich k X )
ψ ' ¯ = − ich k exp ⁡ ( − ich k X ) + ich k R ¯ exp ⁡ ( ich k X )
ψ = exp ⁡ ( ich k X ) + R exp ⁡ ( − ich k X )

So:

ψ ¯ ψ ' = ich k − ich k R exp ⁡ ( − 2 ich k X ) + R ¯ ich k exp ⁡ ( 2 ich k X ) − ich k R R ¯

ψ ¯ ' ψ = − ich k − ich k R exp ⁡ ( − 2 ich k X ) + ich k R ¯ e X P ( 2 ich k X ) + ich k R R ¯

Somit,

J = H k 2 M ( 1 + R exp ⁡ ( − 2 ich k X ) − R ¯ exp ⁡ ( 2 ich k X ) − R R ¯ )

Und in der Region X > 0 :

J = κ H 2 M ( T T ¯ )
.

Ich kann das zeigen (indem ich Stetigkeitsbedingungen am Rand auferlege):

k ( 1 − | R | 2 ) = κ | T | 2

Ich würde also erwarten, dass der erste Wahrscheinlichkeitsstrom nur ist: k H 2 M ( 1 − | R | 2 ) .

Jede Hilfe bei diesem Problem wird sehr geschätzt! Ich bin mir ziemlich sicher, dass ich irgendwo einen dummen Fehler mache, aber es ist sehr frustrierend, da ich ihn nicht finden kann!

Danke

Hm, bist du dir sicher, dass du deine Wahrscheinlichkeit für Strom berechnet hast X ≤ 0 korrekt? Ihre Formel für den Strom hat die Form − ich ( z − z ∗ ) für einen Komplex z ( z = ψ ¯ ψ ' ), was der Imaginärteil von ist z und ist somit offensichtlich real. Ihr Ausdruck für den Wahrscheinlichkeitsstrom ist jedoch komplex. Diese beiden Ausdrücke sind also nicht konsistent.
Ja das ist mein Problem! Aber ich kann nicht sehen, wo ich falsch liege, wenn ich es berechne? Ich bin mir ziemlich sicher, dass es nur ein ärgerlicher Algebrafehler ist
Für mich sieht es so aus, als hättest du es aufgeschrieben ψ ¯ ψ ' und das genannt J , ohne das komplexe Konjugat abzuziehen. Zum Beispiel, ψ ¯ ψ ' hat einen Begriff, der ist H k / 2 M , aber wenn Sie subtrahieren ψ ψ ¯ ' diese Frist wird aufgehoben.
Hm, danke für deine Hilfe. Warum soll ψ ¯ ψ ' haben diese Bedingungen? Ich habe ein bisschen mehr Details zu meiner Berechnung hinzugefügt J zur Frage
Der Wahrscheinlichkeitsstrom ist proportional zu ICH M ( ψ ¯ ψ ' ) (Wenn dieser Teil nicht klar ist, dann verbringen Sie einige Zeit damit, dies zu verstehen). Also nimm deine Ausdrücke für ψ ¯ Und ψ ' , die richtig sind, multiplizieren Sie diese und bilden Sie Real- und Imaginärteil explizit heraus. Im Moment multiplizierst du sie einfach, ohne sie in Real- und Imaginärteile aufzuspalten.
Dieser Teil ist mir tatsächlich nicht klar. Ist meine Definition von Wahrscheinlichkeit aktuell ( J = − ich H 2 M ( ψ ¯ ψ ' − ψ ' ¯ ψ ) ) falsch?

Antworten (1)

Du sagst

J = H k 2 M ( 1 + R exp ⁡ ( − 2 ich k X ) − R ¯ exp ⁡ ( 2 ich k X ) − R R ¯ )
Aber stattdessen als

J = − ich ℏ 2 M ( Ψ ¯ Ψ ' − Ψ ¯ ' Ψ ) = − ich H 4 π M ( Ψ ¯ Ψ ' − Ψ ¯ ' Ψ )

In X < 0 ,

ψ ¯ ψ ' = ich k − ich k R exp ⁡ ( − 2 ich k X ) + R ¯ ich k exp ⁡ ( 2 ich k X ) − ich k R R ¯

ψ ¯ ' ψ = − ich k − ich k R exp ⁡ ( − 2 ich k X ) + ich k R ¯ e X P ( 2 ich k X ) + ich k R R ¯

So

J = − ich ℏ 2 M ( ψ ¯ ψ ' − ψ ' ¯ ψ ) = − ich ℏ 2 M ( 2 ich k − 2 ich k R R ¯ ) = − ich ℏ 2 M .2 ich k ( 1 − 1 R R ¯ ) = H k 2 π M ( 1 − | R | 2 )
. Und in X > 0 ,
ψ = T exp ⁡ ( ich k X )

ψ ¯ ψ ' = ich k T ¯ T

ψ ¯ ' ψ = − ich k T ¯ T

J = − ich ℏ 2 M ( ψ ¯ ψ ' − ψ ' ¯ ψ ) = − ich ℏ 2 M ( 2 ich k T ¯ T ) = − ich ℏ 2 M 2 ich k ( | T | 2 ) = H k 2 π M ( | T | 2 )

Ihr Fehler war einfach die Subtraktion von zwei

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Entschuldigung, ich habe vergessen zu akzeptieren, ich verbringe nicht allzu viel Zeit auf dieser Seite!
Kleine Subtilität: Wenn die Person, die die Frage stellt, die Antwort "akzeptiert", bedeutet dies NICHT, dass es sich um die RICHTIGE Antwort handelt. In diesem Fall könnte es gut sein, aber verwechseln Sie die beiden nicht ....
Entschuldigung @Floris, ich verstehe, was Sie mit akzeptierter Antwort und richtiger Antwort gemeint haben, übrigens ist Englisch nicht meine Muttersprache, ich bin Inder
@Aditya - keine Notwendigkeit, sich zu entschuldigen. Englisch ist auch nicht meine Muttersprache! Es gibt einige interessante Diskussionen auf Meta über die Tatsache, dass die Person, die die Antwort fragt, wahrscheinlich nicht qualifiziert ist zu wissen, welche einer Reihe von Antworten "richtig" ist - sie markieren einfach diejenige, die sie als "am hilfreichsten" empfanden. Wenn Sie nach Weisheit in den Archiven von Stackexchange suchen, müssen Sie dies im Hinterkopf behalten ...
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