Delta-Funktion aus Polen der Green-Funktion

In der quantenmechanischen Streutheorie verwenden wir oft Greensche Funktionen, die Pole enthalten. Beispielsweise ist in der Schrödinger-Quantenmechanik die freie Greensche Funktion gegeben durch

G 0 ( P → ) = 1 E − P 2 2 M + ich ϵ

im Impulsraum, wo die infinitesimale Konstante ϵ > 0 wurde eingeführt, um sich um die Stange zu kümmern E = P 2 2 M . Der Imaginärteil von G 0 ist dann

Ich bin G 0 = − ϵ ( E − P 2 2 M ) 2 + ϵ 2

und vermieten ϵ auf Null gehen, erhalten wir (unter Verwendung der Sokhotski-Plemelj-Formel)

lim ϵ → 0 Ich bin G 0 = − π δ ( E − P 2 2 M ) .

Die vollständige Greensche Funktion ist dann durch die Dyson-Gleichung gegeben

G = G 0 + G 0 v G 0 + G 0 v G 0 v G 0 + …

mit Streupotential v . Wenn wir uns den zweiten Term in der Dyson-Gleichung ansehen, sehen wir, dass die Funktion des freien Greens zweimal vorkommt, was zu einem Ausdruck proportional zu führt 1 ( E − P 2 / ( 2 M ) + ich ϵ ) 2 . Ich frage mich, was der imaginäre Teil dieses Ausdrucks ist. Physikalisch sollte es immer noch eine Delta-Funktion geben, da das physikalische Teilchen die Beziehung erfüllt E = P 2 2 M auch nach elastischer Streuung, aber ich sehe nicht, wie das Delta ins Spiel kommt. Wie bekomme ich also eine Delta-Funktion aus dem Bruch?

1 ( E − P 2 2 M + ich ϵ ) 2 ?

Die Annahme, dass sich der Impuls durch die Wechselwirkung nicht ändert, ist unbegründet.

Antworten (1)

Die grünen Funktionen G Und G 0 , sowie das Streupotential v sind Operatoren. Wenn wir uns also dafür entscheiden, im Impulsraum zu arbeiten, ist die Kette von Operatoren, z G 0 v G 0 , müssen als Faltung geschrieben und alle Dummy-Variablen herausintegriert werden. Wenn Sie dies tun, erhalten Sie niemals ein Quadrat der kostenlosen grünen Funktion, wie Sie es behaupten. Sie sollten die Dyson-Gleichung nicht als bloße Multiplikation von Funktionen interpretieren.

Im Positionsraum G 0 v G 0 entspricht Faltung; im Impulsraum zur Multiplikation. Dies ist eine grundlegende Eigenschaft der Fourier-Transformation: Sie bildet Faltungen auf punktweise Produkte ab und umgekehrt.
Es kommt auf den Betreiber an. Potentiale sind normalerweise im Ortsraum multiplikativ und im Impulsraum faltbar.
Delta-Funktion aus Polen der Green-Funktion
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