Das iϵiϵi\epsilon in der nichtrelativistischen Streutheorie

(Diese Antwort erweitert so ziemlich nur Urgjes Kommentar.)

Die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung, dh bei konstanter Energie betrachtet, ist im Wesentlichen die Fourier-Transformation der zeitabhängigen Schrödinger-Gleichung. Der$i\epsilon$Die Vorschrift ergibt sich aus der Durchführung von Fourier-Transformationen, die bei Streuproblemen nicht konvergieren. Um also etwas zu erhalten, das konvergiert, müssen Sie Ihre Fourier-Transformation leicht modifizieren.

Lassen Sie uns nach dieser eher vagen Einführung etwas genauer darauf eingehen. Das meiste des Folgenden folgt eng Newtons Streuungstheorie-Bibel , wo der Beginn des 3. Kapitels wahrscheinlich der klarste Umriss ist$i\epsilon$Probleme finden Sie in der Literatur.

Betrachten Sie die zeitabhängige Schrödinger-Gleichung ($\hbar=1$):

$$i \dot{\psi}(t) = H \psi(t).$$

Dann kann man die Greensche Funktion definieren:

$$(i \frac{\partial}{\partial t} - H ) G(t) = \mathbb{I}\delta(t) .$$

Dies jedoch$G(t)$bei weitem nicht eindeutig ist, es gibt alle Arten von Anfangsbedingungen, die Sie berücksichtigen können. Eine übliche Wahl, die die kausale Ausbreitung beschreibt, ist

$$G^+(t) = 0 \quad \textrm{for } t<0.$$

Dies ist vorerst nur eine Definition einer Lösung der Gleichung für die Green-Funktion, dh es gibt andere Lösungen. Diese Lösung ist jedoch besonders nützlich, um Anfangswertprobleme zu lösen , da Sie den Anfangszustand irgendwann kennen$t_0$Sie können die Lösung der Schrödinger-Gleichung schreiben als

$$\psi(t) = iG^+(t-t_0)\psi(t_0).$$

Von dort aus kann man eine Streuungstheorie entwickeln, indem man In-States in der fernen Vergangenheit und Out-States in der fernen Zukunft definiert und die Wellengleichungen löst.

Also (fast) alles schön im zeitabhängigen Bild. Allerdings müssten Sie immer Wellenpakete angeben , weshalb oft ein zeitunabhängiges/Energiebild bevorzugt wird.

Um zum Energiebild zu gelangen, Fourier-transformieren wir ... so ziemlich alles. Die Fourier-Transformation der zeitabhängigen Schrödinger-Gleichung ist die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung

$$E |\psi\rangle = H|\psi\rangle.$$

Schauen wir uns nun die Fourier-Transformation der Green-Funktion oben an. Hier ist die$i\epsilon$kommt herein:

$$G^+(E) = \int_{-\infty}^{\infty} e^{iEt} G^+(t).$$

Dies konvergiert eindeutig nicht. Als$t \rightarrow -\infty$der Integrand ist Null, also ist dieser Teil in Ordnung. Aber$t \rightarrow +\infty$der Integrand kann schwingen. Deshalb müssen wir unsere Definition von ändern$G^+(E)$Zu

$$G^+(E) = \int_{-\infty}^{\infty} e^{i(Et+i\epsilon t)} G^+(t).$$

Beachten Sie, dass es vorher absolut keine Wahl des Zeichens gibt$i\epsilon$Hier. Dies liegt daran, dass wir oben entschieden haben, dass wir ein Anfangswertproblem lösen wollen . Wenn Sie stattdessen ein Endwertproblem lösen möchten, werden Sie wählen$G_0(t)$in Zukunft Null sein und Sie benötigen das entgegengesetzte Vorzeichen in der Fourier-Transformation.

Wo ist die Verbindung zur Lippmann-Schwinger-Gleichung? Wenn wir die Gleichungen ein wenig manipulieren, sehen wir das

$$G^+(E) = (E-H+i\epsilon).$$

In den Lippmann-Schwinger-Gleichungen erscheint also die freie Green-Funktion (dh Hamiltonian$H_0$ohne Wechselwirkungen). Wo ist hier unsere Wahl? Der Staat$|\psi_0\rangle$nicht eindeutig ist, wählen Sie sie entweder als Fourier-Transformation einer sich vorwärts bewegenden freien Welle oder einer sich rückwärts bewegenden. Da haben wir also unsere Verbindung zur Wahl, dass wir ein Anfangswertproblem lösen und das$i\epsilon$ist schließlich nicht willkürlich.