Für Operatoren mit reinen Punktspektren ist es klar, wie die Anzahl der Zustände zu zählen ist, die einem gegebenen Eigenwert entsprechen - man kann einfach die Dimension von Eigenräumen berechnen. Ich frage mich, wie man es für kontinuierliche Spektren macht. Was ich normalerweise in meinen Grundkursen gesehen habe, ist der klassische Trick, das System in eine künstliche Box zu stecken, um die Impulse zu quantisieren. Irgendwie ist es eine geniale Idee, aber es ist nicht sehr elegant und sieht schmutzig aus. Aber das Schlimmste ist, dass es in einigen Fällen eine falsche Antwort gibt. Ich frage mich, ob es einen strengeren Weg gibt, dies zu tun.
Für den absolut stetigen Teil des Spektrums eines selbstadjungierten Operators , die "Zustandsdichte" wird durch die Radon-Nikódym-Ableitung des Spektralmaßes von bereitgestellt in Bezug auf das Lebesgue-Maß, wo ist die orthogonale Projektion auf den absolut stetigen Unterraum des Definitionsbereichs von . Diese Formel ist genau wegen der Definition des absolut kontinuierlichen Spektrums gut definiert.
Ich bin mir nicht sicher, ob ich Ihre Frage perfekt verstehe, aber formal können wir im kanonischen Ensemble die Partitionsfunktion schreiben als:
In diesem Zusammenhang folgt, dass die Zustandsdichte nichts anderes ist als die inverse Laplace-Transformation der Zustandssumme:
Diese allgemeine Beziehung ermöglicht es, für bestimmte Modellfälle exakte Ergebnisse zur Zustandsdichte abzuleiten. Der Nachteil ist natürlich, dass inverse Laplace-Transformationen nicht so einfach zu berechnen sind wie inverse Fourier-Transformationen.