Warum analysieren wir das Sprungpotentialproblem in der Quantenmechanik mit nicht normalisierbaren Lösungen?

Beim Lesen von Griffiths Introduction to Quantum mechanics und der Verwendung von MIT 8.04 QP-1-Vorträgen von Adam Allans als ergänzende Quelle, um das Thema Streuung von Partikeln für das Stufenpotential zu verstehen, stieß ich auf ein Problem, das Griffiths interessanterweise für die Delta-Potentialbarriere erwähnt, aber es ist Auflösung ist mir nicht ganz klar.

Wenn wir die Analyse eines Teilchens mit Energie durchführen E größer als die Stufenpotentialbarriere v dh E > v und unter der Annahme, dass die Barriere bei positioniert ist X = 0 , dann ergeben sich die Energieeigenfunktionen beim Lösen der Energieeigenwertgleichung (zeitunabhängige Schrödingergleichung).

ψ ( X ) = A e ich k 1 X + B e − ich k 1 X X < 0   ψ ( X ) = C e ich k 2 X + D e − ich k 2 X X > 0  
Da diese Lösungen nun nicht normierbar sind, sollten wir ein Wellenpaket der Form konstruieren
1 2 π ∫ − ∞ ∞ e ich k X ϕ ( k ) D k
(nicht sehr sicher über die Grenzen der Wellenzahl k ) und diese dann verwenden, um die Randbedingungen Stetigkeit und Differenzierbarkeit bei zu erfüllen X = 0 . Aber nach Sichtung vieler Quellen verwenden die Autoren meistens diese nicht normierbaren Lösungen für die weitere Analyse von Übertragungs- und Reflexionswahrscheinlichkeiten der Wellenfunktion.

Es wäre sehr nett, wenn jemand eine Begründung liefern könnte, warum diese Funktionen verwendet werden können und wenn nicht, wie würde dann das Wellenpaket verwendet werden, das die Randbedingungen erfüllt X = 0 .

Dieser Beitrag (v2) scheint im Wesentlichen eine Version der Frage zu sein, warum wir Quantenstreuungsprobleme als zeitunabhängig behandeln können?
Nun, die Frage ist ziemlich ähnlich, aber ich habe keine Antwort gefunden, die für meinen Kenntnisstand verständlich ist. Keine der Antworten erklärt, wie, wenn wir die Randbedingungen auf die Überlagerungen der ankommenden, reflektierten und übertragenen Welle an der Stufe anwenden, immer noch ein ähnliches Ergebnis für die Analyse resultieren würde. Kurz gesagt, ich weiß nicht, wie ich die ähnliche Übung für normalisierbare Lösungen durchführen soll, auch wenn sie das gleiche Ergebnis liefern.
Welche normierbaren Lösungen? Du meinst zeitabhängige Wellenpakete?
@Qmechaniker Ja. Daher verwendet jeder in seiner Analyse die sich vorwärts und rückwärts bewegenden Wellen (A mal exp + B mal exp) als Wellenfunktion, um die Randbedingungen zu erfüllen. Meiner Meinung nach sollten wir Wellenpakete verwenden (zeitabhängig oder unabhängig, weil wir nur Randbedingungen zu einem beliebigen Zeitpunkt erfüllen, sagen wir t = 0). Das meine ich mit der Verwendung der normalisierbaren Lösungen.
Es gibt keine normierbaren zeitunabhängigen Lösungen.
Ist die Superposition, also das stetige Integral der Exponentiale über k, nicht auch eine Energieeigenfunktion bzw. die Lösung der zeitunabhängigen Schrödinger-Gleichung? Nun, A exp(ikx) + B e(-ikx) ist eine Lösung, also sollte eine Überlagerung von diesen mit einem variierenden k auch eine Lösung sein. Und wenn wir diese Frage ganz vergessen, haben wir vielleicht nur eine normalisierbare zeitabhängige Lösung, aber wie würden Sie die Randbedingungen erfüllen?
"Meiner Meinung nach sollten wir Wellenpakete verwenden [...]" Zumindest in den Schulen, in denen ich gelernt und gelehrt habe, werden die meisten Schüler an QM im Allgemeinen und dieses Problem im Besonderen zu einer Zeit herangeführt, in der sie nicht wirklich mathematisch sind reif genug für diesen Ansatz. Nicht, dass es irgendwelche Schritte erfordert, für die sie nicht bereit sind, nur dass die Größe und Abstraktheit der Behandlung ihre Vorbereitung übersteigt. Und trotz der philosophischen Probleme liefert der auf ebenen Wellen basierende Ansatz die richtigen Antworten .
@dmckee ABER die Analyse sollte keinen Sinn ergeben, da die allgemeine Anforderung einer Wellenfunktion die Normalisierbarkeit ist. Aber wenn Sie den Wellenpaketansatz für mathematisch schwierig halten, würde ich mich freuen, wenn jemand eine Begründung liefern könnte, warum "der auf ebenen Wellen basierende Ansatz die richtigen Antworten liefert".
Das kann ich ansprechen.

Antworten (2)

In den Kommentaren zu der Frage habe ich erwähnt, dass die Lösung mit ebenen Wellen "die richtigen Antworten liefert". Der Grund dafür hängt mit dem Begriff der Zeitunabhängigkeit zusammen.

Jedes Experiment, bei dem Sie ein einzelnes Teilchen auf eine Barriere / Streustelle schießen und dann messen, wo das ausgehende Teilchen landet, ist intrinsisch ein zeitabhängiges Experiment und entspricht der Wellenpaketbehandlung des Problems.

Aber wenn wir das Problem im Rahmen von TISE behandeln wollen, brauchen wir ein zeitunabhängiges Experiment, und zwar ein Continuous-Beam-Experiment . Ein Unterrichtsbeispiel ist ein Beugungsexperiment, bei dem wir einen Laser durch einen Schlitz/ein Schlitzsystem/Etalon usw. richten und das Intensitätsmuster beobachten, das sich auf einem Bildschirm entwickelt. Jede solche Demonstration dauert eine saganeske Anzahl von Perioden und kann vernünftigerweise als ewig behandelt werden.

Aber im Fall eines (idealerweise ewigen) Strahls erwarten wir nicht, dass die Wellenfunktion auf Eins normiert wird, weil es nicht nur ein Teilchen gibt. Es gibt (in der idealisierten Version) unendlich viele Strahlteilchen, also Haben

∫ Raum ψ ∗ ψ D X
divergieren ist nicht nur in Ordnung, sondern erwartet (in dem Sinne, dass Physiker-Mathematik nur lästige technische Details wegwinkt). Ich nehme an, es sollte eine Anforderung geben, dass die Unendlichkeit, die sich aus dieser Summe ergibt, konstant bleibt (was auch immer das bedeuten würde).

Damit das funktioniert, brauchen wir eher, dass die einzelnen Strahlpartikel nicht miteinander interagieren, aber das ist im Fall eines Lasers mit geringer Leistung mehr oder weniger automatisch.

Ich würde lieber nicht auf eine komplexe Situation wie zeitunabhängige oder abhängige Situationen eingehen und ob die Wahrscheinlichkeiten in einem solchen System divergieren würden oder nicht. Meine Frage ist viel einfacher, warum gibt diese Analyse mit ebenen Wellen und mit Wellenpaketen dieselbe Antwort? Ich hoffe, Sie verstehen meinen Punkt.
Verstehst du den Grund , warum die Normalisierungsanforderung überhaupt existiert?
Nun, um ehrlich zu sein, kenne ich den Grund für die Normalisierung nicht genau. Ich habe darüber gelesen, dass das Teilchen irgendwo sein muss und seitdem
| ψ | 2
ist die Wahrscheinlichkeitsdichte, die das impliziert
∫ − ∞ ∞ | ψ | 2 D X = 1
Das ist, was ich über die Normalisierung für ein einzelnes Teilchen weiß.
Rechts. Bei der Normalisierung geht es darum, die Darstellung eines einzelnen Partikels oder Systems zu erzwingen. Aber wenn Sie sagen "Ich möchte eine Version des Problems mit einer unbegrenzten Anzahl von Partikeln lösen" (und Sie müssen sich keine Gedanken über Wechselwirkungen zwischen den Partikeln machen, und es gibt ein physikalisches System, das auf diese Weise vernünftig modelliert ist), Sie kann diese Anforderung fallen lassen und die einfachere Version der mathematischen Aufgabe lösen. Sie erhalten dieselben Wahrscheinlichkeiten, weil Sie immer noch dieselbe Differentialgleichung lösen, Sie müssen nur eine einfachere Funktion verwenden.
Sie wollen also sagen, dass wir, wenn wir annehmen, dass das System eine beliebige Anzahl von Teilchen ist, die Normalisierungsbedingung fallen lassen und die Differentialgleichung für eine Welle lösen können, die "nicht aus einem Teilchen" besteht, sondern aus "einer Wellenfunktion mit vielen Teilchen". ? Irgendetwas in dieser Richtung, huh?
Aber nehmen wir an, ich betrachte nur ein einzelnes Teilchensystem. Ich schieße nur ein einzelnes Teilchen auf die Potentialstufe und möchte Wahrscheinlichkeiten der Reflexion und Transmission herausfinden. Dann muss die Normierungsbedingung erfüllt sein und ich muss als Wellenfunktion ein Wellenpaket mit einer Energiestreuung um einen Mittelwert annehmen. Können Sie uns ein wenig helfen, wie diese Analyse durchgeführt werden würde?

Bei diesem Problem müssen wir keine Zeitabhängigkeit berücksichtigen. Es ist, als ob das Teilchen in der Nähe des Stufenpotentials vorhanden und in der Zeit „eingefroren“ wäre. Auch hier können wir die Position des Teilchens im Energie-gegen-Position-Diagramm nicht genau bestimmen, da dies gegen das Unsicherheitsprinzip verstößt, und deshalb müssen wir den gesamten Raumbereich berücksichtigen / lösen (dh links und rechts vom Stufenpotential). zum selben Zeitpunkt. Es ist nicht wie ein Film der klassischen Welt, wo ein Teilchen aus der Unendlichkeit reist, das Potenzial trifft und davonfliegt; wo alle drei Ereignisse zu unterschiedlichen Zeitpunkten stattfinden.

Sie können sich das grob so vorstellen, als gäbe es eine Art Einwegkanal, einer geht nach links und der andere nach rechts mit den Gewichtungsfaktoren A und B. Das Partikel darf nur diese bereits vorhandenen Spuren verwenden. Auf keinen Fall sehen wir ein im Raum reisendes Teilchen als Funktion der Zeit. Wenn wir nach lösen | B A | 2 oder | C A | 2 , bestimmen wir die Wahrscheinlichkeit, dass Partikel links oder rechts davon landen X = 0 wenn wir es, sagen wir, beobachten.

Sie haben auch gefragt, ob Sie ein Wellenpaket verwenden und dann die Randbedingungen anwenden möchten. Ich denke, es kann eine schwierige Aufgabe sein, da ein sich im Raum bewegendes Wellenpaket (Teilchen) in dem Moment zu zerfallen beginnt, in dem wir die Zeit in die Gleichung einführen. Es ist, als ob die Welle dazu neigt, sich an beiden Extremen zu verlängern, was es schwierig macht, Randbedingungen zu normalisieren und anzuwenden.

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