2D-Schrödinger-Gleichung in Polarkoordinaten - Randbedingungen am Ursprung

Um die kinetische Energie zu halten$\langle K\rangle =\frac{\hbar^2}{2m} \int d^2x~ |\nabla \psi|^2$endlich, ein Logarithmus$\ln(r)$Singularität der radialen Wellenfunktion$\psi(r)$bei$r=0$ist nicht akzeptabel. Diese Schlussfolgerung gilt auch, wenn wir die potentielle Energie nehmen$\langle V \rangle$berücksichtigen:

1. Ein nicht negatives Potential$V\geq 0$macht nur die Gesamtenergie$E= \langle K \rangle + \langle V \rangle$größer.

2. Ein Potenzial$V$mit einer Potenzgesetz-Singularität$V(r) \sim r^p$,$p>-2$, bei$r=0$hätte nur einen endlichen Beitrag.

3. Ein negatives Potenzial$V<0$mit einer Potenzgesetz-Singularität$V(r) \sim r^p$,$p\leq -2$, bei$r=0$würde zu einem Spektrum für den Hamiltonoperator führen$H=K+V$das ist von unten unbeschränkt.

Die allgemeinen Prinzipien zum Auferlegen von Randbedingungen der Wellenfunktion$\psi$bei$r=0$in verschiedenen Dimensionen sind auch z. B. in diesem verwandten Phys.SE-Beitrag und den darin enthaltenen Links beschrieben .

Im Allgemeinen muss die Lösung die Schrödinger-Gleichung an jedem Punkt des Konfigurationsraums lösen. Das bedeutet insbesondere, dass Sie die singuläre Lösung als Verteilung nehmen sollten . Neumann-Funktionen lösen die Schrödinger-Gleichung nicht in jedem Punkt in Polarkoordinaten: Sie würden sie nur lösen, wenn sie einen zusätzlichen (Quell-)Term proportional zu Dirac-Delta mit seiner Singularität am Ursprung hätte. Siehe meine Antwort auf eine verwandte Frage für eine ausführliche Diskussion.