Können wir der Ableitung der Wellenfunktion durch die physikalischen Voraussetzungen eine Randbedingung auferlegen?

Betrachten Sie die Schrödinger-Gleichung für ein Teilchen in einer Dimension, wobei wir mindestens eine Grenze im System haben (sagen wir, die Grenze ist bei X = 0 und wir lösen für X > 0 ). Manchmal möchten wir eine Randbedingung aufstellen, in der die Wellenfunktion verschwindet (Dirichlet-Randbedingung).

Wir können diese Randbedingung indirekt durch die physikalischen Annahmen auferlegen, indem wir ein unendliches Potential außerhalb des relevanten Bereichs verwenden (wie im "Particle in a Box" -Modell):

v ( X < 0 ) = ∞         ⟹         ψ ( X = 0 ) = 0
Was ist, wenn wir eine Randbedingung aufstellen wollen, bei der die Ableitung der Wellenfunktion verschwindet (Neumann-Randbedingung)?
?         ⟹         ∂ ψ ∂ X | X = 0 = 0
Gibt es eine Möglichkeit, das Potential zu wählen oder vielleicht etwas anderes im Hamiltonian zu ändern, um diese Randbedingung indirekt aufzuerlegen?

PS Diese Frage ist nicht von großer praktischer Bedeutung, es ist eher eine Kuriosität.

Antworten (2)

Durch Spiegelung v ( X ) um X = 0 , dh durch Einstellung v ( − X ) = v ( X ) , kann die Wellenfunktion als gerade oder ungerade angenommen werden. Die gerade Lösung erfüllt die Neumann-Randbedingung, da die Ableitung einer geraden Funktion ungerade und damit Null ist X = 0 .

Die geraden Lösungen erfüllen zwar die gewünschte Randbedingung, aber leider wird es immer auch ungerade Lösungen geben, die sie nicht erfüllen. Ich suche nach einem Ansatz, der die Randbedingung für alle Lösungen auferlegt.
@Joe das ist unmöglich, solches Material würde sich wie ein perfekter Reflektor ohne London-Tiefe verhalten. Nicht einmal Supraleiter haben eine London-Tiefe von null
@lurscher - Das ist ein interessanter Punkt. Das unendliche Potential, das für ein Teilchen in einer Kiste verwendet wird, ist ebenfalls unmöglich. In Wirklichkeit wird es immer eine gewisse Eindringtiefe geben, und die Wellenfunktion wird erst dann vollständig verschwinden, wenn wir die (unphysikalische) Grenze eines unendlichen Potentials nehmen. In analoger Weise gibt es keinen Grund, warum es keinen Parameter geben kann, dass sich das Material bei Erreichen einer bestimmten (unphysikalischen) Grenze in einen perfekten Reflektor verwandelt, obwohl es in Wirklichkeit immer eine endliche Londoner Länge geben wird.

Es ist nicht wirklich eine physische Bedingung, aber wenn man die R-Matrix-Theorie für die Streuung durchführt (was wohl nichts für schwache Nerven ist), taucht die Bedingung auf. Eine Ressource, die ich kürzlich gesehen habe, ist ein Vortrag von Hugo van der Hart (gehen Sie zur Folie mit dem Titel Basic Applications).

Dies ist eine alte Antwort, aber sie ist an anderer Stelle verlinkt, daher werde ich sie nicht ändern. Die verlinkte Ressource ist wahrscheinlich nicht der Ort, an dem Sie etwas über die R-Matrix-Theorie lernen möchten. Es ist auch nicht klar, welche Rolle die Neumann-Bedingung bei dieser Entwicklung spielt.
Können wir der Ableitung der Wellenfunktion durch die physikalischen Voraussetzungen eine Randbedingung auferlegen?
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