Unendliche Brunnen und Delta-Funktionen

Man kann sowohl (i) die unendliche Wand sehen

$$\tag{1} V(x)~=~\left\{\begin{array}{ccc}\infty & \text{for} & x>0, \\ 0 & \text{for} & x\leq 0, \end{array} \right.$$

und (ii) das Deltafunktionspotential

$$\tag{2} V(x)~=~A\delta(x),$$

als geeignete Grenze einer endlichen Barrierewand

$\tag{3} V(x) ~=~ V_0 1_{[0,a]}(x)=\left\{\begin{array}{cc}V_0 & \text{for } 0<x<a \\ 0 & \text{otherwise} & \end{array} \right.$

indem man (i)$a=\infty$und (ii)$a=A/V_0$, bzw. das Nehmen der Grenze$V_0\to \infty$.

Für Energien$E<V_0$kleiner als die Barrierenhöhe (3), ergibt die ODE TISE zweiter Ordnung exponentiell abfallende und exponentiell wachsende Lösungen innerhalb der Barriere (3).

(i) Einerseits für eine unendlich dicke Wand$a=\infty$, ist die exponentiell wachsende Lösung physikalisch nicht akzeptabel und wird daher verworfen, so dass$\psi(\infty)=0$. So erfahren wir, dass die Wellenfunktion beim Eintritt in die Potentialwand bei exponentiell abklingt$x=0$. Die umgekehrte charakteristische Eindringtiefe ist proportional zu$\sqrt{V_0-E}$. Also im Limit$V_0\to \infty$ist die charakteristische Eindringtiefe Null, dh wir erhalten die gesuchte Randbedingung$\psi(x=0)=0$, wenn wir annehmen, dass die Wellenfunktion stetig ist$^1$.

(ii) Andererseits für eine Wand endlicher Dicke$a<\infty$, die exponentiell wachsende Lösung kann auch relevant sein, und$\psi(x=0)=0$muss nicht zufrieden sein.

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$^1$Stetigkeit der Wellenfunktion$\psi$kann für eine breite Klasse von Potentialen gerechtfertigt werden$V$über ein Bootstrap-Argument auf der TISE in integraler Form. Siehe auch zB meine Phys.SE-Antwort hier .

Der unendliche Potentialtopf ist eine Idealisierung, bei der wir uns vorstellen, dass wir, wie Kyle Kanos bereits in seiner Antwort gesagt hat, das Teilchen vollständig auf ein Intervall beschränken$(-a,a)$auf der echten Linie. Da der quadratische Modul$|\psi(x)|^2$der Wellenfunktion an einem Punkt$x$auf der reellen Achse stellt die Wahrscheinlichkeit (Dichte) dar, das Teilchen an einer gegebenen Position zu finden$x$, ein Teilchen, das auf die Region beschränkt ist$(-a,a)$muss die Wahrscheinlichkeit Null haben, in dieser Region gefunden zu werden, also legen wir die Randbedingung fest$|\psi(x)|^2 = 0$für alle$x\geq a$und für alle$x\leq-a$was das impliziert$\psi(x) = 0$für all diese Werte von$x$.

Bisher ist dies im Wesentlichen nur eine Wiederholung dessen, was Kyle bereits gesagt hat, aber lassen Sie uns ein bisschen weiter graben, um zu verstehen, was physisch vor sich geht.

Sie könnten sich denken: „Okay, angesichts der oben beschriebenen Idealisierung des Einschlusses des Teilchens machen die Randbedingungen intuitiv Sinn, aber in der realen Welt gibt es kein unendliches Potenzial. Wir können jedoch sehr große produzieren Ich wäre von den Randbedingungen des unendlichen quadratischen Brunnens überzeugter, wenn wir zeigen könnten, dass dies bei einem endlichen Potenzialbrunnen der Stärke gegeben ist$V_0$, nähert sich das Verhalten der Wellenfunktion in den Bereichen hohen Potentials immer mehr ihrem Verhalten für den unendlichen Potentialbrunnen an$V_0$wird immer größer genommen.

Tatsächlich können wir zeigen, dass dies für die Energieeigenvektoren des endlichen Potentialtopfs der Fall ist.

Stellen Sie sich einen gebundenen Zustand eines Teilchens in einem endlichen Potentialtopf der Stärke vor$V_0$, nämlich

$$\begin{align} V(x) = \left\{\begin{array}{cl} 0 & ,|x|<a \\ V_0 & ,|x|\geq a \end{array}\right. \end{align}$$ Ein gebundener Zustand tritt auf, wenn die Energie des Teilchens kleiner als die maximale potentielle Energie ist, nämlich wenn $E<V_0$, dann für die Regionen $|x|\geq a$die Energieeigenwertgleichung (auch bekannt als zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung) ergibt $$\begin{align} \psi''(x) = \kappa^2\psi(x), \qquad \kappa^2 = -\frac{2m(E-V_0)}{\hbar^2} \end{align}$$ Die allgemeine Lösung ist entweder ein wachsendes oder ein abfallendes Exponential $\psi(x) = A e^{\pm \kappa x}$. Damit die Wellenfunktion normalisierbar ist, sagt uns dies, dass die allgemeine Lösung außerhalb des Wells ist $$\begin{align} \psi(x) = \left\{\begin{array}{cl} A_-e^{\kappa x} & ,x\leq -a \\ A_+ e^{-\kappa x} & ,x\geq a \end{array}\right. \end{align}$$ Jetzt kommt das Coole. Für eine feste $E$, wenn wir nehmen $V_0\to\infty$, Dann $\kappa\to\infty$, und das bedeutet, dass die Wellenfunktion außerhalb des Brunnens immer schneller abklingt, wenn wir das Potential erhöhen. Eigentlich aus gegebenem Anlass $E$Und $x$, wir haben $\psi(x)\to 0$als $V_0\to \infty$für alle $|x|\geq a$.

Aus dieser Perspektive können wir die Grenzbedingungen des unendlichen quadratischen Brunnens so betrachten, als würden wir sie von einer Grenze des endlichen quadratischen Brunnens erhalten, in dem der Brunnen "unendlich tief" ist.

Beachten Sie auch, dass aus dieser Sicht ein Paar von Delta-Funktionen nicht dem unendlichen quadratischen Brunnen entspricht, da dies einer unendlichen Grenze eines Paares endlicher potenzieller Spitzen an den Positionen entsprechen würde$\pm a$, und das ist einfach nicht die physikalische Situation, die wir zu modellieren versuchen, wenn wir über die potenzielle Quelle sprechen.

Wenn Sie eine Potentialbarriere betrachten, werden Sie sehen, dass die Wellenfunktion eines Teilchens mit bestimmter Energie exponentiell mit einer Geschwindigkeit abfällt, die von der Differenz des Potentials und der Energie abhängt. Genau genommen ist der Exponent proportional zu$\sqrt{V - E}$.

Im Grenzbereich, z$V\to\infty$, wird es über eine Breite von 0 auf 0 abfallen.

Eine Delta-Funktion existiert nicht als Funktion, sondern ist eine Grenze von Funktionen (in einer geeigneten Topologie). Für dieses Problem ist es am einfachsten, Blockfunktionen zu betrachten: Funktionen der Breite w und der Höhe 1/w. Die Deltaverteilung ist die Grenze wie$w\to 0$. Sie können nicht zuerst die Grenze der Höhe auf unendlich setzen, gefolgt von der Breite auf 0, was Sie implizit tun.

Jetzt für eine feste$w$abhängig vom Wert auf dieser Seite erhält man einen Wert für die Wellenfunktion auf der anderen Seite der Barriere. Wenn die Höhe zunimmt, wird der Abfall schneller sein, aber er wird auch über ein kürzeres Intervall fallen, und tatsächlich wird der Abfall geringer sein, weil der Abfallexponent eine Quadratwurzel enthält. In der Grenze gibt es überhaupt keinen Höhenabfall, insbesondere haben Sie Stetigkeit, aber keinen Grund, bei 0 zu enden.

Sie beschränken das Teilchen auf einen Bereich von$|x|< a$mit einem unendlichen Potenzial, das sich unendlich weit erstreckt$|x|\geq a$: Bildquelle

Da wir das Teilchen auf eine bestimmte Region beschränken (durch Anlegen eines Potentials außerhalb dieser Region), werden Sie das Teilchen niemals außerhalb dieser Region finden, also die Wellenfunktion,$\psi$, muss ab Null sein$|x|=a$.

Warum muss es dann an den Wänden des unendlichen Brunnens auf Null gehen?

Denn den richtigen Weg zu finden$\psi$ist Schr zu lösen. Gleichung für endliches Potential gut zuerst und finden Sie heraus, wie$\psi$hängt von den Parametern des Potentials ab. Versuchen Sie dann, die Grenze zum unendlichen Potenzial gut zu machen, und schauen Sie, was mit dem passiert$\psi$Funktion.

Man kann Schr nicht lösen. Gleichung für so etwas wie "unendliches Potential" direkt, weil "unendliches Potential" keine gültige Funktion ist.

Aufgrund der Normierbarkeitsforderung von$\psi$, im Fall von endlich gut, die$\psi$Funktion zerfällt für große auf Null$x$, und die Begrenzungsprozedur führt zu stetig$\psi$auch in der Grenz- und Randbedingung wo$\psi$außerhalb des Brunnens Null ist

Ich habe sogar das Gefühl, dass die Brunnenwand einer Summe von Delta-Funktionen entspricht ...

Stimmt, das konstante Potenzial$V_0$Außerhalb des endlichen Brunnens kann geschrieben werden als

$$V(x) = V_0 \int_{(-\infty,-a)+(a,\infty)} \delta(x-x_0)dx_0.$$

Im Allgemeinen ist jedoch die Lösung des Schr. Gleichung,$\psi$, ist nicht durch einen linearen Operator gegeben, der auf das Potential einwirkt$V(x)$figurieren in der Schr. Gleichung. Es gibt keinen Grund zu erwarten, dass die$\psi$Funktion für$V(x)$wird die Summe der Funktionen sein$\psi_{x_0}$das sind Lösungen zu Schr. Gleichung mit Deltapotential$V_0 \delta(x-x_0)$.