Kontinuität und Glätte der Wellenfunktion

Hier wollen wir ein einfaches mathematisches Bootstrap-Argument liefern, warum Lösungen für die zeitunabhängige 1D- Schrödinger-Gleichung (TISE) tendenziell ziemlich gut sind. Schreiben Sie zunächst die Differentialform formal um

$$-\frac{\hbar^2}{2m} \psi^{\prime\prime}(x) + V(x) \psi(x) ~=~ E \psi(x) \tag{1}$$

in die Integralform

$$\psi(x)~=~ \frac{2m}{\hbar^2} \int^{x}\mathrm{d}y \int^{y}\mathrm{d}z\ (V(z)-E)\psi(z) .\tag{2}$$

In dieser Antwort gehen wir davon aus, dass die Integralform (2) [und nicht die oft geschriebene Differentialform (1)] der Ausgangspunkt ist.

Es gibt verschiedene Fälle.

1. Fall$V \in {\cal L}^2_{\rm loc}(\mathbb{R})$ist eine lokal quadratisch integrierbare Funktion. Nehmen Sie die Wellenfunktion an$\psi \in {\cal L}^2_{\rm loc}(\mathbb{R})$sowie. Dann das Produkt$(V-E)\psi\in {\cal L}^1_{\rm loc}(\mathbb{R})$aufgrund der Cauchy-Schwarz-Ungleichung . Dann das Integral$y\mapsto \int^{y}\mathrm{d}z\ (V(z)-E)\psi(z)$stetig ist und damit die Wellenfunktion$\psi$auf der linken Seite. von Gl. (2) ist glatt$\psi\in C^{1}(\mathbb{R}).$

2. Fall$V \in C^{p}(\mathbb{R})$für eine nicht negative ganze Zahl$p\in\mathbb{N}_0$. Ein ähnliches Bootstrap-Argument zeigt dies$\psi\in C^{p+2}(\mathbb{R}).$

Die beiden oben genannten Fälle decken einige häufig verwendete mathematisch idealisierte Potentiale nicht ab$V(x)$, z.B,

1. die unendliche Wand$V(x)=\infty$in irgendeiner Region. (Die Wellenfunktion muss verschwinden$\psi(x)=0$in dieser Region.)

2. oder eine Dirac-Delta- Verteilung $V(x)=V_0\delta(x)$. Siehe auch hier .

Einiges davon wurde an anderer Stelle besprochen. Siehe „Bedeutung unbegrenzter Operatoren“ https://physics.stackexchange.com/a/19569/6432 .

Es ist nicht wahr, dass die Wellenfunktion stetig sein muss, sie muss nur messbar sein (dh fast überall ein Grenzwert von Sprungfunktionen). Natürlich fragen Sie sich vielleicht, welchen Sinn die Schrödinger-Gleichung macht, wenn Sie sie auf eine Stufenfunktion anwenden ... aber die Antwort ist einfacher, als sich Gedanken über verteilungsschwache Lösungen zu machen. Der Punkt ist, dass Sie die zeitabhängige Schrödinger-Gleichung mit der Exponentialfunktion lösen können

$$e^{itH},$$ das ist eine Familie von einheitlichen Operatoren, und die sich besser benimmt als die $H$Sie müssen in Schrödingers Gleichung verwenden. Der $H$Sie müssen zum Beispiel verwenden $$-{\partial ^2\over\partial x^2} + \mathrm{other\ stuff},$$ ist unbegrenzt. Und nicht differenzierbare Funktionen sind nicht in seiner Domäne. Aber das Einstecken in die Potenzreihe für exponentielle Konvergenz konvergiert sowieso in der Norm, und so kann der resultierende Operator, der auf einem dichten Bereich des Hilbert-Raums beschränkt und sogar einheitlich ist, problemlos auf den gesamten Raum ausgedehnt werden, sogar auf Schrittfunktionen. Daher ist es sinnvoller zu sagen, dass die Lösung der Schrödinger-Gleichung mit einer gegebenen Anfangsbedingung $\psi_o$Ist $$\psi_t (x) = e^{itH}\cdot \psi_o (x)$$ und es besteht keine Notwendigkeit, verteilte schwache Lösungen einzubringen. Diese Überlegungen werden das Stone-von-Neumann-Theorem genannt.

Aber solche Funktionen sind nicht sehr wichtig und in der Tat ist es möglich, die gesamte Quantenmechanik mit glatten Funktionen zu machen, besonders wenn Sie die Einstellung einnehmen, dass beispielsweise ein quadratisches Topfpotential auch unphysikalisch wäre und wirklich nur eine vereinfachte Annäherung an a ist physikalisches Potential, das diese rechteckigen Ecken glättete, aber eine Formel hatte, die nicht handhabbar war .... Siehe Anthony Sudbery, Quantum Mechanics and the Particles of Nature , das, da es von einem Mathematiker geschrieben wurde, vorsichtig mit unwichtigen Themen wie diesem umgeht.

Diese Familie von Operatoren, die ich aufgeschrieben habe, wird als Zeitentwicklungsoperatoren bezeichnet, und sie sind ein Beispiel für eine einheitliche Gruppe mit einem Parameter, der Zeit. Es ist leicht zu sehen, dass wenn$\psi_o$, die Anfangsbedingung, der Zustand des Quantensystems zur Zeit$t=0$, schön und glatt ist, dann werden alle zukünftigen Zustände auch schön und glatt sein. Darüber hinaus haben alle üblichen Quantenobservablen Eigenzustände, die schön und glatt sind. Wenn Sie also eine zukünftige Messung durchführen, erhalten Sie eine Funktion, die schön und glatt ist, und ihre zukünftige Zeitentwicklung wird so bleiben, bis zur nächsten Messung usw. bis zum Weltuntergang.

Das heißt, für alle praktischen Zwecke können Sie davon ausgehen, dass alle Wellenfunktionen glatt sind und dass der einzige Grund, warum Sie diskontinuierliche untersuchen, praktische Näherungen sind.

Der Kommentar, den man manchmal hört, ist, dass eine Wellenfunktion, die nicht im Bereich des Hamilton-Operators wäre, „unendliche Energie“ hätte, aber das ist Unsinn. In der Quantenmechanik dürfen Sie nicht davon sprechen, dass ein Quantensystem einen bestimmten Wert einer Observablen hat, es sei denn, es befindet sich in einem Eigenzustand dieser Observablen. Was Sie fragen können, ist, was die Erwartung dieser Observable wäre . Wenn die Wellenfunktion$\psi$diskontinuierlich ist und nicht im Bereich des Hamiltonoperators liegt, kann es kein Eigenzustand sein, aber wenn seine Energie gemessen wird, wird die Antwort immer endlich sein. Die Erwartung seiner Energie existiert jedoch nicht, oder man könnte sagen, die Erwartung ist „unendlich“. Nicht die Energie, ihre Erwartung. Daran ist nichts sehr unphysikalisch, weil die Erwartung selbst nicht sehr direkt physikalisch ist: Sie können die Erwartung nicht messen, es sei denn, Sie führen unendlich viele Messungen durch, und Ihre geschätzte Antwort wird selbst für diese diskontinuierliche Funktion immer eine endliche Erwartung sein. Es ist nur so, dass diese Schätzungen viel ungenau sind, die Erwartung ist wirklich unendlich (wie die Cauchy-Verteilung in der Statistik).

Aber selbst für solch eine „schlechte“ Wellenfunktion gelten alle Axiome der Quantenmechanik: Die Wahrscheinlichkeit, dass die gemessene Energie 7 erg beträgt, wird auf die übliche Weise berechnet. Aber diese schlechten Wellenfunktionen treten niemals in elementaren Systemen oder Übungen auf, daher denken die meisten Menschen, dass sie „unphysikalisch“ sind. Und wie gesagt, wenn die Anfangsbedingung eine „gute“ Wellenfunktion ist, wird sich das System nie darüber hinaus entwickeln. Das hängt meines Erachtens damit zusammen, dass in der QM alle Systeme endlich viele Freiheitsgrade haben: Für Quantensysteme mit unendlich vielen Freiheitsgraden, wie sie in der Statistischen Mechanik untersucht werden, würde dies nicht mehr gelten.

Die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung für die Orts-Raum-Wellenfunktion hat die Form

$$\left(\frac{-\hbar^2}{2m}\nabla^2 +(V-E) \right)\Psi=0$$

Wo$E$ist die Energie dieses bestimmten Eigenzustands, und$V$im Allgemeinen abhängig von der Position. Alle physikalischen Wellenfunktionen müssen sich in einer Überlagerung von Zuständen befinden, die diese Gleichung erfüllen.

Zumindest in der nichtrelativistischen QM darf die Wellenfunktion keine unendliche Energie haben. Wenn die zweite Ableitung der Wellenfunktion nicht existiert oder unendlich ist, impliziert dies entweder$V$hat eine Eigenschaft, die die Diskontinuität "aufhebt" (wie im unendlichen quadratischen Brunnen), oder dass die Wellenfunktion überall stetig und differenzierbar ist.

Allgemein,$\Psi$muss immer kontinuierlich sein, und jede räumliche Ableitung von$\Psi$muss vorhanden sein, es sei denn$V$ist an diesem Punkt unendlich.

Die Lösung der Dirac-Gleichung für Wasserstoffatom im Grundzustand (unter Punktkerne, feste Kernposition) beinhaltet, wie in diesem Link zitiert ,

$$r^{\gamma-1},$$ Wo $$\gamma = \sqrt{k^2 - Z^2 \alpha^2 } = \sqrt{ 1 - 1/137^2} < 1,$$ es divergiert also am Ursprung. Nämlich nicht fortlaufend (gehört nicht zu$C^0$, kann also nicht sein$C^2$), aber noch drin$L^2$Raum.