Inkonsistenz im Delta-Potential

Ich stieß auf eine Inkonsistenz im eindimensionalen Delta-Potential. Angenommen, wir haben ein eindimensionales unendlich tiefes Quadrat gut aus − L Zu + L . Wir wissen, dass die Eigenzustände Sinus- und Kosinusfunktionen sind. Sie sind entweder gerade oder ungerade.

Lassen Sie uns nun ein Delta-Potential hinzufügen G δ ( X ) mitten drin. Hier G ∈ R . Durch die Paritätsbetrachtung werden die ungeraden Zustände überhaupt nicht beeinflußt. Die geraden Zustände sind miteinander gekoppelt. Das bedeutet, dass die neuen Eigenzustände mit gerader Parität lineare Überlagerungen der Eigenzustände mit ungerader Parität sind. Dies bedeutet wiederum, dass die Eigenzustände mit gerader Parität bei Nullableitung haben sollten X = 0 .

Wenn Sie dasselbe Problem jedoch auf eine andere Standardmethode lösen, dh durch Integrieren der Schrödinger-Gleichung über das Delta-Potential, erhalten Sie eine Randbedingung für den rechten Teil der Wellenfunktion in Form von A ψ ( 0 ) + B ψ ' ( 0 ) = 0 , Wo A Und B sind endliche Zahlen. Diese Randbedingung bedeutet ψ ' ( 0 ) ≠ 0 . Die beiden Ansätze führen also zu unterschiedlichen Ergebnissen! Wie lösen wir diese Inkonsistenz?

Ich habe ähnliche Zweifel. Auch ohne das Delta-Potential können Sie die Ableitungs-Randbedingung nicht in 1-d gut anwenden. Die Ableitung ist an der Grenze innerhalb der Vertiefung nicht null und außerhalb null. Aber wir entscheiden uns einfach dafür, diese Bedingung zu ignorieren. Warum?
Ich verstehe nicht, warum Sie das Delta erwarten ψ ( 0 + ) = − B A ψ ' ( 0 + ) . Und wenn b und a reelle Zahlen sind, bedeutet das, dass keine Wahrscheinlichkeit die Barriere überschreitet.

Antworten (1)

Der Hauptpunkt ist, dass eine punktweise konvergente Fourier-Reihe von Kosinusmodi zwar eine gerade Funktion ist ψ ( − X ) = ψ ( X ) , es muss at nicht differenzierbar sein X = 0 . Eine punktweise konvergente unendliche Summe differenzierbarer Funktionen ist nicht unbedingt eine differenzierbare Funktion.

Allgemeiner, wie OP bereits erwähnt, die Wellenfunktion ψ ( X ) ist nicht unbedingt differenzierbar X -Lage des Deltapotentials und der beiden Wannenwände. Man sollte eine Diskontinuität in der berücksichtigen ψ ' ( X ) bei diesen drei X -Positionen. Siehe auch zB meine Phys.SE-Antwort hier .

Es muss einen mathematischen Weg geben, das zu umgehen. Aber der Punkt ist, dass ich mich jetzt nicht mehr traue, Delta-Potenzial zu verwenden. Zumindest für das obige konkrete Problem bin ich mir nicht sicher, ob die beiden Ansätze zum gleichen Ergebnis führen werden.
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