Teilchen in einem Kasten: Wert für die Wellenfunktion u(x)u(x)u(x) wenn das Potential V(x)V(x)V(x) unendlich ist

Gehen Sie zurück zu Ihrer zeitunabhängigen Schrödinger-Gleichung:

$$-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2 u(x)}{dx^2}+V(x)u(x)=Eu(x)$$ Dies ist eine Differentialgleichung, die für alle Werte von erfüllt sein muss $x$. Insbesondere, wenn wir uns die Gleichung für ansehen $x = x_0 > a$, wir haben $$-\frac{\hbar^2}{2m}u''(x_0) + (\infty) u(x_0) = E u(x_0)$$ Wenn $u(x_0) \neq 0$, dann muss mindestens eines von zwei Dingen wahr sein: $E = \infty$oder $u''(x_0) = \infty$. Wir wollen vermutlich nicht, dass die Energien unserer Eigenzustände unendlich sind, und wir wollen vermutlich, dass unsere Wellenfunktionen wohldefinierte zweite Ableitungen haben (außer vielleicht an isolierten Punkten). 1 Das ist also ein Widerspruch, und das müssen ^wir haben $u(0) = 0$in einer Region des Weltraums, wo $V(x) = \infty$.

Nun sollte in Wirklichkeit der unendliche Potentialtopf als die Grenze des endlichen Potentialtopfs betrachtet werden, dh nehmen$V = V_0 < \infty$für$x <0$Und$x>a$und nehmen Sie dann die Grenze als$V_0 \to \infty$. In einem solchen Fall würde die Wellenfunktion des Teilchens (zum Beispiel)

$$u''(x_0) = \frac{2m(V_0-E)}{\hbar^2} u(x_0)$$ die die Lösung hat (z $x < 0$) $$u(x) = A \exp \left[ \frac{\sqrt{2m(V_0-E)}}{\hbar} x \right].$$ (Es gibt auch eine Lösung mit umgekehrtem Vorzeichen der Quadratwurzel, aber es stellt sich heraus, dass es unmöglich ist, sie zu normalisieren.) As $V_0 \to \infty$, wir bekommen $u(x) \to 0$für alle $x <0$. Selbst wenn wir die Grenze sorgfältiger nehmen, erhalten wir also immer noch das Ergebnis, dass die Wellenfunktion außerhalb des Brunnens verschwindet $V_0 \to \infty$.

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¹ Unter bestimmten Umständen können Sie eine Funktion mit haben$u''(x_0) = \infty$an isolierten Stellen; tatsächlich in diesem Fall$u''(0) = u''(a) = \pm \infty$je nach Eigenzustand. Aber dies ist nur an isolierten Punkten zulässig und ist wirklich ein Artefakt der Wahl eines physikalisch unrealistischen unendlichen Potenzials. In Wirklichkeit sind Potentialtöpfe niemals unendlich, und daher ist die zweite Ableitung der Wellenfunktion immer überall wohldefiniert.

Im$x<0$Und$x>a$Regionen wird die Lösung bzw.

$$u(x)=Ae^{bx} \text{ and } u(x)=Be^{-bx},$$ Wo $A$Und $B$sind Konstanten zu bestimmen (falls erforderlich) und $b=\frac{\sqrt{2m(V-E)}}{\hbar}$. Als nächstes nehmen Sie die Grenze als $V\to\infty$mit entsprechenden Vorzeichen von x in jedem Bereich.

Denken Sie daran, dass das Potenzial$V(x)$ist mit einer Kraft verbunden$F(x)$über:

$$F(x)=-\frac{dV(x)}{dx}.$$

Bei$x \leq 0$Und$x \geq a$,$V=+\infty$, also in diesen Bereichen:

$$x \geq a,$$ $$F(x) = -\infty \, .$$

Und:

$$x \leq 0,$$ $$F(x) = +\infty.$$

An beiden Grenzen dieser Bereiche wirkt also eine unendliche Kraft auf das Teilchen, die es daran hindert, in diese Bereiche einzudringen. In diesen Bereichen ist die Wahrscheinlichkeit, das Teilchen zu finden, null und somit:

$$P(x)=|u(x)|^2=0.$$

Und:

$$u(x)=0.$$