Übersehe ich einen Trick, um ein 3D-Potential-Brunnen-Problem zu lösen?

Ich habe mit einem 3-D-Potenzial herumgespielt v so dass v ( R ) = 0 für R < A , Und v ( R ) = v 0 > 0 ansonsten. Mit der Schrödinger-Gleichung habe ich gezeigt, dass:

− ℏ 2 M 1 R 2 D D R ( R 2 D D R ) ψ = E ψ

Ich habe dann die Substitution verwendet ψ ( R ) = F ( R ) / R Und k = 2 M E / ℏ zu bekommen:

(ICH) 1 R D 2 F ( R ) D R 2 = − k 2 R F ( R )

was die Wellenfunktion beschreibt ψ ( R ) = F ( R ) / R innerhalb der Kugel. Daher hat die Differentialgleichung den Definitionsbereich 0 ≤ R < A , und ich kann nicht beide Seiten mit multiplizieren R . Das ist bedauerlich, denn für die Außenseite der Kugel gilt eine ähnliche Gleichung:

1 R D 2 F ( R ) D R 2 = k ' 2 R F ( R )
Da dies außerhalb der Kugel liegt, kann ich beide Seiten mit multiplizieren R um eine bekannte Differentialgleichung zu erhalten, die sich leicht lösen lässt:
D 2 F ( R ) D R 2 = k ' 2 F ( R )

Wenn ich das gleiche mache ( ICH ) , erhalte ich die Gleichung für eine einfache harmonische Bewegung, setze aber die Lösung wieder in ein ( ICH ) als Plausibilitätsprüfung ergibt eine Division durch Null bei der Auswertung für R = 0 . Danach habe ich versucht, eine Reihe von Substitutionen vorzunehmen ( ICH ) eine erkennbarere Form haben - vergeblich. Da kam mir die Idee, meine Versuchslösung mit irgendeiner anderen Funktion zu multiplizieren R so dass bei der Substitution in ( ICH ) , die Auswertung von R = 0 gibt keine Unendlichkeit ... aber ich weiß nicht genau, wie ich das machen soll ...

Lange Rede kurzer Sinn..... Meine Frage ist: Welchen Trick brauche ich, um eine sinnvolle Lösung zu bekommen ( ICH ) ?

Antworten (1)

I) Die Substitution F = R ψ ist die Standardsubstitution, um ein radiales 3D-Problem einem 1D-Problem ähneln zu lassen, siehe z. 1.

II) Aus Sicht der Normierung der Wellenfunktion ψ ( R ) , A 1 / R Singularität von ψ ( R ) bei R = 0 ist in Ordnung, weil | ψ ( R ) | 2 wird durch einen Jacobi-Faktor unterdrückt R 2 aus der Messung in 3D-Kugelkoordinaten kommend.

III) Jedoch um die kinetische Energie zu halten K = ℏ 2 2 M ∫ D 3 X   | ∇ ψ | 2 endlich, a 1 / R Singularität von ψ ( R ) bei R = 0 ist nicht akzeptabel, dh wir müssen die Kosinuslösung verwerfen und nur die Sinuslösung behalten. Dies entspricht dem Auferlegen der Wellenfunktion ψ ( R ) sollte begrenzt werden.

Verweise:

  1. D. Griffiths, Einführung in QM, Abschnitt 4.1.3.
Ich bekomme (I) und (II), aber persönlich bekomme ich Punkt (III) nicht. 1. Warum K stellt diesen integralen Ausdruck dar? 2. Warum kümmern wir uns darum, die Energie in einem unendlich kleinen Punkt endlich zu halten? 3. Wir verwenden ständig das Dirac-Delta, um Potenziale zu definieren.
Hallo Numeno. Danke für die Rückmeldung. 1. Uns interessiert hier die integrierte kinetische Energie K integriert über 3-Raum, nicht in einer lokalen kinetischen Energiedichte per se. 2. Wenn die kinetische Energie K ist unendlich, ebenso die Gesamtenergie E . Uns interessieren nur Zustände mit endlicher Gesamtenergie E , da wir sie sonst in keinem realistischen Experiment mit einer endlichen Energiequelle herstellen können. 3. Obwohl das Delta-Potential lokal in einem Punkt explodiert, sollte die integrierte potentielle Energie endlich sein.
Übersehe ich einen Trick, um ein 3D-Potential-Brunnen-Problem zu lösen?
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