Ist dieser Ausdruck für den radialen Wahrscheinlichkeitsfluss in Sakurais Modern Quantum Mechanics falsch?

Betrachten Sie l = 0, also glauben Sie nicht, dass dies etwas mit Polarkoordinaten zu tun hat: perfekte sphärische Symmetrie,$\psi=R_E(r)\equiv \sqrt{\rho (r)} e^{iS(r)}$, für reelles ρ und S , im Allgemeinen.

Für gebundene Zustände wie Atome verschwindet natürlich S , R ist reell, wie Sie bemerkt haben, da E < 0 und diese Systeme stationär sind : Sie bleiben an Ort und Stelle,$\dot{\rho}=0$, ohne Wahrscheinlichkeit herauszusickern,$j_r=0$. Atome sind stabil.

Aber für streuende Zustände gilt das natürlich nicht: Denken Sie an eine Kugelwelle ($R\sim e^{irk}/r$, So$j_r=\hbar k/mr^2$) oder ein sich frei ausbreitendes Wellenpaket , unten.

Der Wahrscheinlichkeitsdichtestrom ist somit

$$j_r= \frac{\hbar}{m}\operatorname{Im} \bar{R}\partial_r R= \frac{\hbar}{m} \rho \partial_r S .$$

Die Kontinuitätsgleichung,$\dot{\rho}+ j_r(r)=0$impliziert dann, dass die Wahrscheinlichkeit P in einem kugelförmigen Volumen V mit der Oberfläche A mit dem aktuellen Ausfluss aus der Oberflächenschale abnimmt,

$$\dot{P}=\int dV ~\dot{\rho} = -\oint dA ~j_r.$$

Also zum Beispiel für das frei (Null ist ein Kugelpotential!) diffundierende Gaußsche Wellenpaket, unnormiert, beginnend mit der quadratischen Breite a am Ursprung der Zeit ( t = 0),

$$R=\left ( \frac{\sqrt{a}}{a+\frac{i\hbar t }{m}} \right )^{3/2} ~\exp \left (-r^2 \frac{a-i\hbar t/m}{2(a^2+\hbar^2t^2/m^2)} \right )~,$$ ausgesprochen komplex.

Auswerten der obigen Stromdichte,

$$j_r= \frac{\hbar}{m} \rho \frac{r\hbar t }{m(a^2+\hbar^2 t^2/m^2 )}= \frac{r t \hbar^2}{m^2 a}\left ( \frac{1}{a+\frac{\hbar^2 t^2 }{m^2 a}} \right )^{5/2} ~\exp \left (-r^2\frac{a}{a^2+\hbar^2t^2/m^2} \right )~,$$ Sie überprüfen die Strom- und Ausflussdämpfung mit r (Wahrscheinlichkeit bleibt an der Schale im Unendlichen erhalten). Für $\hbar t/m \gg a$, a wird durch ersetzt $\hbar ^2t^2/m^2 a$, ein Breitenquadrat, das ins Unendliche wächst, wenn die Gaußsche zu einer Konstante zusammenbricht und die Lokalisierung vollständig verloren geht.

Die "Quantenströmungsgeschwindigkeit" ,

$$\frac{j_r}{\rho}=\frac{r}{t}~\left ( \frac{1}{1+\frac{m^2 a^2}{\hbar^2 t^2}}\right )$$ bricht dann für lange Zeit auf r/t zusammen.

• Bearbeiten Sie Ihre geänderte Frage "Wo ist mein Fehler in (2)?" : Lassen wir die irrelevanten Kugelflächenfunktionen usw. weg und nehmen sie als r -Konstanten in den Term A auf , den die Autoren verbannen wollen. Also, in meiner Sprache,$\psi \propto R(r)=\sqrt{\rho}e^{iS(r)}\sim A/r^{l+1}$in der Nähe des Ursprungs. Aus meinem Ausdruck,$j_r\sim \frac{\hbar A A^*}{m r^{2l+2}}\partial_r S ,$so dass die Wahrscheinlichkeit Leckage von einer Hülle in der Nähe des Ursprungs ist

  $$4\pi r^2 j_r \propto \frac{\hbar A A^*}{m r^{2l}}\partial_r S \propto r^{-(2l+1)},$$ für ein vernünftiges S, das im Ursprung verschwindet, wie man es in der Streutheorie antrifft. (Wenn S eine Konstante ist, wie in gebundenen Zuständen, ist es natürlich nutzlos und absorbierbar, und die Antwort verschwindet.) Als Ergebnis dieser Efflux-Explosion müssen Sie diese singuläre Lösung als unphysikalisch zurückweisen. Dagegen ist für l = 0$S=kr$ist sicher und entspricht einer Kugelwelle,$R\sim \exp(irk) /r$.

• Eine totale beiseite, aber wo wir gerade dabei sind. Für nicht verschwindendes l und nicht verschwindendes azimutales qn m (nicht Masse!) hat der gebundene Zustand wf ein komplexes Verhalten,$\exp(im\phi)$, was zu einer nichttrivialen φ -Komponente des Wahrscheinlichkeitsstroms führt! Also, obwohl die Wahrscheinlichkeit nie aus einer sphärischen Schale herausfließt, gibt es diesen azimutalen Wahrscheinlichkeitsfluss wie der Jetstream, der rund und rund und rund geht!