Interpretation der Randbedingungen in der zeitunabhängigen Schrödinger-Gleichung

In den von Ihnen angegebenen Beispielen sagen die Randbedingungen einfach "keine unendliche Energie haben" und "nicht nicht normalisierbar sein". Diese haben nicht wirklich eine physikalische Interpretation.

Darüber hinaus haben keine Randbedingungen jemals eine Interpretation wie "Anfangsposition und -geschwindigkeit", da die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung stationäre Zustände beschreibt. In diesen Zuständen findet keine Zeitentwicklung statt, daher ergibt eine Anfangsbedingung keinen Sinn!

Wenn Sie jedoch die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung mit einem Potential lösen$V(x)$das geht nicht so unendlich$x$geht ins Unendliche, dann bekommt man Lösungen$\psi(x)$das sind keine gebundenen Zustände: Sie werden ein kompliziertes Verhalten innerhalb des Potentialschachts haben und dann so aussehen$e^{ikx}$bei unendlich. Die Auferlegung der Randbedingung „aussehen wie$e^{ipx}$im Unendlichen" physikalisch bedeutet, dass Sie die Streuung von Teilchen mit einfallendem Impuls berücksichtigen möchten$k = p$.

1. Die Wahl der Randbedingungen legt den Definitionsbereich und damit eine selbstadjungierte Erweiterung Ihres Schrödinger-Operators fest

   $$-\frac{\hbar^2}{2m} \Delta + V\:.$$ Diese Wahl wiederum bestimmt das Spektrum dieses Operators, dh die Eigenwerte$E$. (Hier gibt es keine Analogie zu Anfangsbedingungen.)

2. Keine Umstände! Randbedingungen sind nicht mit der Normalisierung korreliert, da sie nur einen Unterraum des Hilbert-Raums, die Domäne des obigen Operators und if definieren$\psi$gehört ebenfalls zu diesem Unterraum$c\psi$tut für jeden$c\in \mathbb C$.

Soweit ich weiß, und ich bin nur ein Student im Grundstudium, sind die Randbedingungen in Schrödinger-Gleichungen dazu da, einen speziellen Unterraum des Hilbert-Raums des Systems oder des Hilbert-Raums als Ganzes zu halten.

Gebundene Zustände bilden beispielsweise einen Unterraum auf dem Hilbert-Raum. Die Randbedingung dazu ist die$\psi\sim e^{-r}$im Unendlichen, für jede Zeit.

Streuzustände, sind Wellenpakete, die bei$t=\pm\infty$sich wie ein freies Wellenpaket verhalten (sich rechtzeitig einklinken durch$\frac{-\hbar ^2}{2m}\nabla ^2$anstatt$H$).

Es stellt sich heraus, dass Energieeigenzustände, Lösungen der zeitunabhängigen Schrödinger-Gleichungen, immer gebundene Zustände sind. Dies liegt daran, dass ebene Wellen nicht normiert werden können - aber man kann immer Wellenpakete aus ebenen Wellen konstruieren - . Diese Wellenpakete sind die Streuzustände. Sie können manchmal einen Zustand wie betrachten$|k\rangle$für eine ebene Welle und für praktische Zwecke funktioniert dies die ganze Zeit gut. Aber manchmal, wie beim Beweis des Lippmann-Schwinger-Theorems , werden die Dinge zu kleinen Tricks und es ist gut, sich an dieses Zeug mit Wellenpaketen zu erinnern.

Für die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung könnte die Randbedingung einfach die Anforderung sein, dass die Wellenfunktionen normiert werden können. Dies ist eine Besonderheit der zeitunabhängigen Gleichung. Die physikalische Erklärung ist einfach: Die begrenzten Eigenzustände sind die einzigen Zustände, die zeitunabhängig sind (nur eine Phase erhalten) und normalisiert werden können. Ein anderer normierbarer Zustand, der nicht beschränkt ist, ist notwendigerweise zeitabhängig, weil es ein Wellenpaket sein muss, um normierbar zu sein, ebene Wellen sind es nicht.

Die Quantisierung der Energie in gebundenen Zuständen ergibt sich aus den Randbedingungen der Schrödinger-Gleichung. Die Randbedingung verlangt, dass einige Zahlen wie Drehimpuls und Energie quantisiert werden müssen. Die Energie ergibt sich aus der Tatsache, dass die Wellenfunktion räumlich begrenzt ist, und der Drehimpuls aus Symmetrien des Raums.

Tatsächlich ist dies die Natur der Quantisierung physikalischer Größen. Die Tatsache, dass ein Teilchen oder etwas in einem endlichen Bereich ausreichend eng lokalisiert ist, ist die Interferenz auf die Wahrscheinlichkeitsamplituden wichtig, und es gäbe nur einige stationäre Zustände für diese Interferenzen.