Lösungen der Schrödinger-Gleichung in 2D-Polarkoordinaten, wenn das Potential Null ist

Für die Schrödinger-Gleichung in Polarkoordinaten ( R , θ ) , wenn das Potential im Hamiltonoperator ist 0 (freie Teilchen), denke ich, ist eine Lösung R − 1 e − ich ( k R − ω T ) . Diese radiale Welle ist am Koordinatenursprung zentriert.

Kann eine andere Lösung für den oben beschriebenen Hamilton-Operator auch eine radiale Wellenfunktion sein (mit einer Amplitude an jedem Punkt, das ist wiederum das Inverse des Abstands vom Wellenzentrum), aber nicht am Koordinatenursprung zentriert?

Haben Sie versucht, die Schrödinger-Gleichung einzusetzen und zu überprüfen, ob sie funktioniert?
Sie können von den Lösungen der Klein-Gordon-Gleichung ausgehen. Dabei handelt es sich um sphärische Bessel-Funktionen.
Die im ersten Absatz der Frage beschriebene Wellenfunktion ist eine Eigenfunktion des dort beschriebenen Hamilton-Operators. Ich denke, wenn wir den zweiten Absatz der Frage als Beschreibung von Übersetzungsoperatoren betrachten, die auf diese Wellenfunktion wirken, dann sollte die übersetzte Wellenfunktion, da Übersetzungsoperatoren mit diesem Hamilton-Operator mit 0-Potential pendeln, immer noch funktionieren und immer noch eine Eigenfunktion des Hamilton-Operators sein
Sie haben keine Randbedingungen angegeben. Ohne sie gibt es Lösungen wie zB Sünde ⁡ ( R cos ⁡ θ ) die nicht zentriert sind R = 0 . Tatsächlich sogar ohne die BCs exp ⁡ ( R cos ⁡ θ ) ist eine Lösung der Schrödinger-Gleichung.
@Ruslan Ich habe eigentlich über das Quantendoppelspaltexperiment und die mathematische Form nachgedacht, wie die Summe der beiden Radialwellen aus den beiden Schlitzen die Schrödingergleichung löst. Jeder muss denselben Zeitentwicklungsoperator haben, der nur exp^{iwt} ist. Also muss jede auch eine Eigenfunktion des Hamiltonoperators sein. Das Schlitzsieb erzeugt die BCs, dass die Wellen jeweils radial sind, mit Mittelpunkt am Schlitz.

Antworten (1)

Die radialen Lösungen sind Bessel-Funktionen und der winklige Teil sind Wellen. Sie beginnen mit dem freien Hamiltonoperator in Polarkoordinaten,

H ψ ( R , φ ) = − ( ∂ 2 ∂ R 2 + 1 R ∂ ∂ R + 1 R 2 ∂ 2 ∂ φ 2 ) ψ ( R , φ ) = E ψ ( R , φ ) .
Wie so oft bei dieser Art von Differentialgleichungen können wir den Ansatz machen
ϕ ( R , φ ) = R ( R ) Φ ( φ ) .
Diese in die Differentialgleichung einsetzen und durch dividieren R ( R ) Φ ( φ ) Erträge
− R 2 R D 2 R D R 2 − R R D R D R − E R 2 = 1 Φ D 2 Φ D φ .
Die linke Seite hängt nur von ab R , während die rechte Seite nur davon abhängt φ , also müssen beide Seiten konstant sein. Wir nennen die Konstante − A 2 . Dann lautet die Winkeldifferentialgleichung
D 2 Φ D φ 2 + A 2 Φ = 0
was leicht gelöst wird durch
Φ ( φ ) = C 1 e ich A φ + C 2 e − ich A φ .
Seit Φ ( 0 ) = Φ ( 2 π ) , Wir schließen daraus A ∈ N . Der Radialanteil ist dann gegeben durch
R 2 D 2 R D R 2 + R D R D R + ( E R 2 − A 2 ) R = 0.
Nach dem Auswechseln R ~ = E R , dies wird die Bessel-Differentialgleichung und die Lösungen sind die Bessel-Funktionen.

Um Ihre Frage zu beantworten, ja, es gibt mehr Lösungen, die von den Bessel-Funktionen gegeben werden, die durch trigonometrische Funktionen moduliert werden. Wie üblich kann man jede glatte Funktion durch eine Summe geeigneter Eigenfunktionen darstellen. Aber ich denke, Ihre Frage ist, ob wir auch Eigenfunktionen finden können, die vom Ursprung verschoben sind. Und hier ist die Antwort nein, da dies die Symmetrie des Problems brechen würde.

Danke für deine ausführliche Antwort. Meine Motivation ist das Quantendoppelspaltexperiment, bei dem eine ebene Welle mit der Frequenz w in einer Richtung orthogonal zum Spaltschirm läuft und auf diesen Schirm trifft. Dann tritt aus jedem Spaltpunkt eine radiale Welle der Form (1/r)exp{-i(kr-wt) aus, wobei r vom Spaltpunkt aus gemessen wird, aus dem die Welle austritt. Die Wellenfunktion ist die Summe dieser beiden Wellen. Wenn beide in demselben Polarkoordinatensystem ausgedrückt werden, wird die Wellenfunktion die Schrödinger-Gleichung in diesem Koordinatensystem nicht erfüllen, denke ich. Das verwirrt mich.
Ich verstehe. Ich denke, der Ausweg ist, dass der Hamiltonian nicht wirklich der freie Hamiltonian ist, sondern die Schlitze enthalten muss. Daher ist die Lösung genau das, was Sie bereits erhalten haben, eine Überlagerung zweier Kugelwellen, die um die Breite der Spalte verschoben sind.
Ja, ich dachte an die Schlitze als Randbedingungen, aber ich denke, Sie haben Recht.
Lösungen der Schrödinger-Gleichung in 2D-Polarkoordinaten, wenn das Potential Null ist
AntwortenHierDatenschutz-Bestimmungen1y, 0v