Wie schnell verschwindet eine Wellenfunktion im Unendlichen?

Sehr interessante Frage! Ich beginne damit, einige der mathematischen Grundlagen für diese Frage zu skizzieren:

• Sie suchen nach einem begrenzten Zustand mit einem gewissen Potenzial$V$, dh ein nicht streuender Zustand. Mathematisch bedeutet dies ein$L^2$-integrierbare Eigenfunktion des Schrödinger-Operators$-\Delta+V$.

• Durch elliptische Regularität erhalten Sie für diese Funktionen sofort das, was ich als Ihre Bedingung (3) verstehe (Die genauere Aussage wäre die$\psi$liegt im Bereich der selbstadjungierten Version von$\hat{p}$). Im Grunde ist das Argument hier, dass$\psi$muss durch Umstellen der Schrödinger-Gleichung für Ihre Klasse von Potenzialen, die Sie haben werden, zweimal differenzierbar sein$\Delta \psi\in L^2$, durch Fourier-Transformation erhalten Sie dann, dass die erste Ableitung auch sein wird$L^2$. Somit,$\hat{p}$ist wohldefiniert für$\psi$.

Die Grundidee, warum die meisten gebundenen Zustände, auf die Sie stoßen werden, exponentiell abfallen, stammt von der folgenden Idee: Nehmen Sie an, dass weit entfernt vom Ursprung$V$ist monoton, dh es schwingt nicht. Dies erlaubt uns eine Schätzung$V$von unten durch ein Kastenpotential, was impliziert, dass ein beschränkter Zustand von$V$wird von einem begrenzten Zustand des Boxpotentials dominiert. Begrenzte Zustände von Boxpotentialen zerfallen exponentiell, daher wird der Zustand exponentiell zerfallen. Dieses Argument kann unter Verwendung von Maximalprinzipien für elliptische PDEs explizit gemacht werden, Sie können die mathematischen Details z

Berezin und Shubin, Die Schrödinger-Gleichung (Springer 1991).

Nach dieser Argumentation lautet die Antwort auf Ihre Frage also fast nein für Potenziale, die weit außerhalb monoton sind. Mit "fast" meine ich, dass es solche Funktionen bei ausgezeichneten, aber physikalisch irrelevanten Werten von geben kann$E$Betrachten Sie zum Beispiel das Potenzial

Das können Sie jetzt überprüfen$\psi(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\frac{1}{1+x^2}$ist eine normierte Eigenfunktion zu diesem Potential mit Eigenwert 0. Der Impulsoperator ist dafür wohldefiniert$\psi$und$\psi$zerfällt offensichtlich nur polynomiell für$x\rightarrow\infty$. Also, was ist hier passiert? Wenn Sie versuchen, das "Box"-Argument zu verwenden, würden Sie mit einer Box vergleichen, die vom Ursprung weg vollständig negativ ist (denken Sie daran, dass die Box das Potenzial von unten schätzt), sodass 0 bereits ein Streuungszustand für die Box ist! Betrachtet man jedoch das Potenzial, sieht man, dass dies nur für genau diesen Wert von der Fall sein kann$E$- für sogar ein$\epsilon$mehr Energie, erhalten Sie da einen streuenden Zustand$V\rightarrow 0$zum$x\rightarrow \infty$; und für ein$\epsilon$weniger erhalten Sie einen gebundenen Zustand, den Sie wieder durch eine Box abschätzen können, daher zerfällt er exponentiell. Da man mit einer exakten Energie keinen Zustand präparieren kann, ist dies physikalisch nicht relevant. Im Allgemeinen sollte dieses Phänomen nur bei auftreten$E=\limsup_{|x|\rightarrow\infty}V(x)$, da dies der geringstmöglichen Energie für Streuzustände entspricht.

Was kann also passieren, wenn wir die „Monotonie-weit-außen“-Bedingung fallen lassen? Ich denke, dass es in diesem Fall möglich sein sollte, die Art von Zuständen zu erhalten, nach denen Sie suchen. Mein Konstruktionsversuch geht so: Let$V$B. eine Ansammlung von Boxpotentialen sein, bei der die Boxen eine konstante Höhe haben und immer dünner werden$x$größer wird, z. B. etwas, das ungefähr so ​​aussieht:

Wenn Sie die unendlich vielen Diskontinuitäten stören, sollte das Verhalten, das ich beschreiben werde, für eine geglättete Version dieses Potenzials genau dasselbe sein.

Nun würde ein gebundener Zustand dieses Potentials herumschwingen$0$wo$V=-0.5$und zerfallen wo$V=+0.5$. Die (exponentielle) Zerfallsrate wo$V=0.5$immer gleich ist, können Sie durch Steuern der Breite der Kästchen genau steuern, wie schnell Ihr gebundener Zustand abklingt, zB können Sie erreichen, dass jedes Mal, wenn Sie den positiven Teil des Kästchens passieren, Ihre Amplitude mit der Rate abnimmt$1/x^2$. Die Details sind wahrscheinlich sehr technisch und faul, aber ich denke, im Prinzip sollte das funktionieren.