Darf bei einer radialsymmetrischen Wellenfunktion ΨΨ\Psi bei r=0r=0r=0 explodieren, vorausgesetzt, |Ψ|2r2|Ψ|2r2|\Psi|^2r^2 nicht?

Für eine kugelsymmetrische Wellenfunktion ist die Wahrscheinlichkeit proportional zu | Ψ | 2 R 2 , und wenn die Wellenfunktion bei explodiert R = 0 dann bei R = 0 | Ψ | 2 = ∞ , Und R 2 = 0 was bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit proportional zu ist ∞ ∗ 0 und auf eigene Faust ∞ ∗ 0 wäre jedoch für eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung unbestimmt | Ψ | 2 R 2 hätte noch einen bestimmten Wert bei R = 0 gegeben durch die Grenze als R Ansätze 0 , und für einige Funktionen, in denen Sie haben ∞ ∗ 0 an einem bestimmten Punkt ist der Wert noch endlich.

Bedeutet dies das Ψ darf explodieren R = 0 unter der Vorraussetzung, dass | Ψ | 2 R 2 nicht?

Antworten (2)

Ja. Vorausgesetzt, die resultierende Wellenfunktion ist normierbar. Der Punkt ist, dass in Polarkoordinaten der radiale Teil des Laplace-Operators ein singulärer Punkt der Gleichung at ist R = 0 . Je nach Form des Potentials können solche singulären Punkte im Grenzpunkt- oder im Grenzkreisfall von Weyl liegen . Im letzteren Fall gibt es eine Einparameterfamilie von Randbedingungen, die auferlegt werden können R = 0 für die der Schrödinger-Operator selbstadjungiert bleibt. Für drei Dimensionen und für den Drehimpuls l > 0 Fall befinden wir uns im Grenzpunktfall und die Wellenfunktion muss endlich bleiben. Für die l = 0 Fall befinden wir uns im Grenzkreisfall und die Wellenfunktion darf explodieren, vorausgesetzt, wir legen Randbedingungen der Form fest

ψ ( R ) ∼ A ( 1 − a S R ) , R → 0 ,
Wo a S ist die Streulänge . Physikalisch treten diese Bedingungen auf, wenn direkt am Ursprung etwas ist, das viel zu klein ist, um durch die uns interessierenden Wellenlängen aufgelöst zu werden. Dies geschieht bei kalten atomaren Gasen wo a S Es parametrisiert die Art und Weise, wie ein Atom ein anderes wahrnimmt.

  1. Aus Sicht des Hilbertraums H = L 2 ( R 3 ) selbst die Wellenfunktion darf nicht nur im Ursprung explodieren R = 0 , sondern auch in anderen Punkten, solange sie quadratintegrierbar ist.

  2. Wenn nun die Wellenfunktion die TISE erfüllen soll, gibt es weitere Einschränkungen.

  3. Wenn die TISE kugelsymmetrisch ist, ist es oft nützlich, Kugelkoordinaten zu verwenden, wie es OP tut. Zusatzbedingungen unter R = 0 wird zB in this & this Phys.SE posts diskutiert.

Darf bei einer radialsymmetrischen Wellenfunktion ΨΨ\Psi bei r=0r=0r=0 explodieren, vorausgesetzt, |Ψ|2r2|Ψ|2r2|\Psi|^2r^2 nicht?
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