Ich habe mit einem 3-D-Potenzial herumgespielt so dass für , Und ansonsten. Mit der Schrödinger-Gleichung habe ich gezeigt, dass:
Ich habe dann die Substitution verwendet Und zu bekommen:
was die Wellenfunktion beschreibt innerhalb der Kugel. Daher hat die Differentialgleichung den Definitionsbereich , und ich kann nicht beide Seiten mit multiplizieren . Das ist bedauerlich, denn für die Außenseite der Kugel gilt eine ähnliche Gleichung:
Wenn ich das gleiche mache , erhalte ich die Gleichung für eine einfache harmonische Bewegung, setze aber die Lösung wieder in ein als Plausibilitätsprüfung ergibt eine Division durch Null bei der Auswertung für . Danach habe ich versucht, eine Reihe von Substitutionen vorzunehmen eine erkennbarere Form haben - vergeblich. Da kam mir die Idee, meine Versuchslösung mit irgendeiner anderen Funktion zu multiplizieren so dass bei der Substitution in , die Auswertung von gibt keine Unendlichkeit ... aber ich weiß nicht genau, wie ich das machen soll ...
Lange Rede kurzer Sinn..... Meine Frage ist: Welchen Trick brauche ich, um eine sinnvolle Lösung zu bekommen ?
I) Die Substitution ist die Standardsubstitution, um ein radiales 3D-Problem einem 1D-Problem ähneln zu lassen, siehe z. 1.
II) Aus Sicht der Normierung der Wellenfunktion , A Singularität von bei ist in Ordnung, weil wird durch einen Jacobi-Faktor unterdrückt aus der Messung in 3D-Kugelkoordinaten kommend.
III) Jedoch um die kinetische Energie zu halten endlich, a Singularität von bei ist nicht akzeptabel, dh wir müssen die Kosinuslösung verwerfen und nur die Sinuslösung behalten. Dies entspricht dem Auferlegen der Wellenfunktion sollte begrenzt werden.
Verweise:
QMechaniker