Lösen der 1D-zeitunabhängigen Schrödinger-Gleichung mit Randbedingungen im räumlichen Unendlichen

In meiner Einführungsstunde in moderne Physik haben wir zeitunabhängige Lösungen der Schrödinger-Gleichung in einer Dimension untersucht. Wir haben uns einige Fälle ohne endlichen Rand angesehen, zB freie Teilchen und Stufenpotentiale mit v M A X < E . In jedem Beispiel, im Unterricht und in allen einführenden Materialien, die ich gefunden habe, wurde ohne mathematische Begründung angegeben, dass die reziproke komplexe Exponentiallösung als "unphysikalisch" ignoriert werden sollte. Insbesondere, obwohl eine mathematisch vollständigere Lösung der Form vorliegen würde

A e ich a X + B e − ich a X ,
Ich habe nur Lösungen in der unbegrenzten Region gesehen, wo B = 0 unter der Interpretation, dass sein Begriff das Ergebnis einer Reflexion wäre, die nicht auftreten kann, wenn es keine erreichbare Grenze gibt. Die übliche Aussage lautet: „Der Begriff in B hat eine negative Geschwindigkeit und ist unphysikalisch ..." Ich finde das sehr unbefriedigend. Ich bin nicht überzeugt, dass es in diesem Fall richtig ist, den Begriff "Geschwindigkeit" zu verwenden (behaupten sie, dass sich die zeitunabhängige Wellengleichung "ausbreitet"?), es sei denn, es handelt sich um einen Aspekt der aktuellen Wahrscheinlichkeit (welches Konzept nicht im Lehrplan steht). Eine unendliche Grenze ist an sich ein unphysikalisches Konzept. Die Lösung ist nicht einmal quadratisch integrierbar, soweit ich das beurteilen kann. Ich kann' Um alles in der Welt finde ich keine mathematische Rechtfertigung oder mehr als einen erklärenden Satz (alles scheint sich auf eine implizite Analogie zur Physik einer Saite zu stützen). komplexere Behandlung, die ich für sinnvoll halte.

Gibt es eine Begründung für diese Annahme, die sich mathematisch schreiben lässt? Es fühlt sich einfach wie ein Trick an, um ein unterdefiniertes Gedankenexperiment zu vereinfachen.

Antworten (1)

Hier ist unsere Interpretation der Frage von OP: Wir sprechen im Wesentlichen über die asymptotische Form positiver Energiestreuzustände zur zeitunabhängigen Schrödinger-Gleichung (TISE) für die beiden freien Regionen X → ± ∞ . (Wie OP feststellt, sind Streuzustände nicht normalisierbar und gehören daher nicht zum Hilbert-Raum. Trotzdem können sie mathematisch über einen manipulierten Hilbert-Raum- Formalismus behandelt werden.) In einer Konvention 1 , haben wir asymptotisch

ψ ( X )   ∼   {   A e − ich k X + R e ich k X für X → + ∞ , T e − ich k X für X → − ∞ .

Mit anderen Worten: Wir haben drei Wellen: einen ankommenden Linksbeweger, einen übertragenen ( T ) Linksbeweger und ein gespiegeltes ( R ) Rechtsbewegung.

1) Was ist mit der vierten Möglichkeit passiert: ein ankommender Right-Mover B e ich k X für X → − ∞ ?

Wir haben die vierte Möglichkeit Null als Randbedingung beibehalten, um den Streuprozess einer ankommenden Welle nachzuahmen, die sich in eine reflektierte und eine transmittierte Welle aufspaltet. (Natürlich könnte man im Prinzip auch die Streuung von zwei einfallenden Wellen untersuchen, also alle vier Möglichkeiten. Dies wird z. B. in dieser Phys.SE-Antwort getan.)

2) Wie können wir für die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung von ein- und ausgehenden Links- und Rechtsbewegern sprechen ?

Das ist im Wesentlichen die Frage, die in diesem Phys.SE-Beitrag gestellt wird.

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1 Es gibt auch eine links-rechts-gespiegelte Konvention.

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