Was ist der Zusammenhang zwischen Hilbertraum und Pfadintegralen?

Question

Was ist der Zusammenhang zwischen Hilbertraum und Pfadintegralen?

zooby

Gegeben sei ein Zustandsraum $|\rangle$ , $|x\rangle$ , $|x,y\rangle$ , mit den Erstellungsoperatoren wie z $\hat{\phi}(x)|y,z\rangle=|x,y,z\rangle$ zum Erzeugen eines Partikels an Position $x$ usw.

Wie hängt das mit Pfadintegralen zusammen?

z.B

Δ (X, 0; j, T) = \int ϕ (X, 0) ϕ (j, T) \exp (ich S [ϕ]) D ϕ

$\Delta(x,0;y,t) = \int \phi(x,0)\phi(y,t) \exp(i S[\phi] ) D\phi$

Wie erhalten wir dies mit Erstellungs- und Vernichtungsoperatoren?

Ich habe versucht einzustellen $|\rangle = \Psi_0[\phi]$ für einige Grundzustand aber $a^+(x)\Psi_0[\phi] \neq \phi(x)\Psi_0[\phi]$ dann blieb ich hängen. Auch weil ich dann mit dem Grundzustand innerhalb des Pfadintegrals enden würde, was nicht richtig wäre.

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Lassen Sie mich ein wenig klarstellen.

Angenommen, Sie haben ein Wellenfunktional $\Psi[\phi,t]$ was die zweite quantisierte Shrodinger-Gleichung erfüllt:

ich \frac{D}{D T} Ψ [ϕ, T] = (- \frac{δ^{2}}{δ ϕ (X)^{2}} - \nabla ϕ (X)^{2} + M^{2} ϕ (X)^{2}) Ψ [ϕ, T]

$i\frac{d}{dt}\Psi[\phi,t] = \left(-\frac{\delta^2}{\delta\phi(x)^2}-\nabla \phi(x)^2 +m^2\phi(x)^2\right) \Psi[\phi,t]$

und es hat einen Grundzustand der Form:

Ψ_{0} [ϕ] = \exp (\int ϕ (X) S (X - j) ϕ (j))

$\Psi_0[\phi] = \exp\left( \int \phi(x)s(x-y)\phi(y) \right)$

Dies ist der Vakuumzustand $|>$

Jetzt will ich den Feynman-Propagator finden. Also ich möchte etwas wie:

Δ (X, 0; j, T) = \int Ψ [ϕ_{0}] Φ [ϕ_{T}] \exp (ich S [ϕ]) D ϕ

$\Delta(x,0;y,t) = \int \Psi[\phi_0]\Phi[\phi_t] \exp(i S[\phi] ) D\phi$

für einige bestimmte Wellenfunktionale. Aber ich möchte die Ein-Partikel-Zustände finden, die ich einfügen kann $\Psi[\phi_t] = \phi_t(x)\Psi_0[\phi_t]$ Zum Beispiel bekomme ich dann den Grundzustand innerhalb des Integrals, was ich nicht will. Ist es richtig, das Wellenfunktional zu erweitern als:

Ψ [ϕ, T] = (ψ_{T} + \int ψ_{T} (X) ϕ (X) D X^{3} + \int ψ_{T} (X, j) ϕ (X) ϕ (j) D X^{3} D j^{3} + . . .) Ψ_{0} [ϕ]

$\Psi[\phi,t] = \left(\psi_t + \int \psi_t(x)\phi(x)dx^3 + \int \psi_t(x,y)\phi(x)\phi(y) dx^3 dy^3+...\right)\Psi_0[\phi]$

wobei die Begriffe den Zuständen entsprechen $|x,y,..;t>$ . Oder sollte ich Operatoren wie verwenden $a^+(x)$ wo der Hamiltonian ist:

H = \int {A^{+} (X), A^{-} (X)} D X^{3}

$H=\int\{a^+(x),a^-(x)\}dx^3$

Und

A^{\pm} (X) = \frac{δ}{δ ϕ (X)} \pm \int S (X - j) ϕ (j) D j^{3}

$a^\pm(x) = \frac{\delta}{\delta \phi(x)} \pm \int s(x-y) \phi(y) dy^3$

Wie auch immer ich es betrachte, ich lande immer mit dem Grundzustand im Integral, anstatt nur:

Δ (X, 0; j, T) = \int ϕ (X, 0) ϕ (j, T) \exp (ich S [ϕ]) D ϕ

$\Delta(x,0;y,t) = \int \phi(x,0)\phi(y,t) \exp(i S[\phi] ) D\phi$

Siehe hier, es ist einfach $\phi(x)$ nicht $\phi(x)\Psi_0[\phi] =\hat{\phi}(x)|>$ . Was mache ich falsch? Wie kann ich den Grundzustand aus dem Integral entfernen?

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Das einzige, was mir einfällt, ist, dass der Grundzustand nicht derselbe ist wie der Zustand ohne Teilchen. Wenn der Nicht-Partikel-Zustand ist $\Psi_{NP}[\phi]=const$ dann denke ich, das löst es. Stimmt das oder ist der Zustand ohne Teilchen gleich dem Grundzustand? Aber was machen in diesem Fall die Betreiber $a^\pm(x)$ entsprechen? Bedeuten sie Anregungen im Feld im Gegensatz zur Erzeugung von Teilchen?

geniert

Erstens

a, a^{†}

$a,a^{\dagger}$ Teilchen mit Impuls erzeugen und zerstören

k

$k$ , es werden keine Angaben zur Position gemacht:

a^{†} | 0 ⟩ = | k ⟩

$a^{\dagger}|0\rangle=|k\rangle$ . Eine Quantisierung in Form von Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren ist jedoch nur in einigen speziellen (linearen) Fällen möglich. Der Pfadintegralansatz ist der allgemeine und kann per Definition nicht abgerufen werden

a, a^{†}

$a,a^{\dagger}$ zurück. Korrelationsfunktionen sind jedoch Erwartungswerte für das Vakuum, und in dieser Hinsicht können Sie beide Methoden verwenden, um sie zu berechnen und beide zu vergleichen.

ACuriousMind

Ich bin mir nicht sicher, was Sie fragen. Es gibt keinen „Amplitudenraum“, wir haben einen Zustandsraum . Warum möchten Sie das Pfadintegral "mit Erstellungs- / Vernichtungsoperatoren" sehen, da diese nur für freie Felder existieren, das Pfadintegral jedoch ein allgemeines Objekt sein soll.

ACuriousMind

Es gibt keine

| x, y, z; t ⟩

$\lvert x,y,z; t\rangle$ gibt an, weil QFT nicht wirklich einen Positionsoperator hat. Die Ein-Teilchen-Zustände sind normalerweise Impulszustände oder Überlagerungen davon. Was ist

Δ (x, 0, y, t)

$\Delta(x,0,y,t)$ soll sein? Ich habe auch keine Ahnung was

Ψ [ϕ_{t}] = ϕ_{t} (x) Ψ_{0} [ϕ_{t}]

$\Psi[\phi_t] = \phi_t(x)\Psi_0[\phi_t]$ soll bedeuten, da die rhs davon abhängt

x

$x$ (und ist somit keine Funktion einer Feldkonfiguration), das lhs jedoch nicht.

zooby

Δ (x, 0, y, t)

$\Delta(x,0,y,t)$ ist der Feynman-Propagator, um von (x,0) nach (y,t) zu gelangen. Ich sehe Ihren Einwand gegen die Gleichung nicht. Die gleichung

x = 3

$x=3$ ist gültig, obwohl die RHS nicht davon abhängt

x

$x$ . Außerdem können Sie beliebige Impulszustände in Positionszustände Fourier-transformieren. Ich weiß nicht, was Sie meinen, es gibt keine Zustände dieser Form.

| x, y >

$|x,y>$ ist die Amplitude des Auffindens von Partikeln sowohl bei x als auch bei y. Es ist symmetrisch für Bosonen und antisymmetrisch für Fermionen.

ACuriousMind

Es gibt keine solche Sache. Sie können Impulszustände nicht in Positionszustände Fourier-transformieren, da QFT keinen Positionsoperator hat. Dies ist kein QM, wo wir zwei Operatoren haben

x, p

$x,p$ mit kanonischen Vertauschungsbeziehungen. Wir haben den (Vier-) Impulsoperator, aber es gibt keinen Positionsoperator in QFT, siehe diese Antwort und diese Antwort . Was Sie zu tun versuchen, ist schlecht definiert.

zooby

Ich verstehe nicht, wovon du redest. Der Feldoperator

\hat{ϕ} (x)

$\hat{\phi}(x)$ und es ist kanonisch konjugiert

\hat{π (x)}

$\hat{\pi(x)}$ sind Positionsoperatoren. Oder Sie können sie in Bezug auf erweitern

\hat{ϕ} (x) = \int e^{i x . k} a^{+} (k) d k + \int e^{- i x . k} a^{-} (k) d k

$\hat{\phi}(x) = \int e^{ix.k}a^+(k)dk +\int e^{-i x.k}a^-(k)dk$ Ist das nicht eine Fourier-Transformation?

ACuriousMind

Mit "Positionsoperator" meine ich einen Operator

x

$x$ von denen Ihre angeblichen Staaten

| x ⟩

$\lvert x \rangle$ sind Eigenzustände. Sie sprechen von "dem Feynman-Propagator, um zu kommen

x, 0

$x,0$ Zu

y, t

$y,t$ “, aber das bedeutet, dass es Zustände geben muss, die „Teilchen bei

x, 0

$x,0$ " und "Teilchen bei

y, t

$y,t$ " an erster Stelle. Sie müssen diese Zustände definieren, damit die Frage einen Sinn ergibt. Das Fehlen eines richtigen Positionsoperators bedeutet für mich, dass Sie solche Zustände nicht richtig definieren können.

zooby

Ich verstehe deinen Einwand nicht. Schauen Sie sich en.wikipedia.org/wiki/Identical_particles an und sehen Sie, wo es steht

| x_{1} x_{2} x_{3} >

$|x_1 x_2 x_3 >$ Warum sagst du immer, das gibt es nicht?

ACuriousMind

Das sind Zustände in der Quantenmechanik , nicht in der Quantenfeldtheorie .

zooby

Ok, wenn du meinst.

geniert

Außerdem stimmt es nicht immer, dass man expandieren kann

ϕ (x)

$\phi(x)$ bezüglich

a, a^{†}

$a, a^{\dagger}$ . Eigentlich gilt das nur in einigen Sonderfällen (meistens für freie Felder).

zooby

Nun, umso mehr Grund, einfach zu verwenden

\hat{ϕ} (x)

$\hat{\phi}(x)$ und sein Konjugat. Jedenfalls habe ich gesehen, wo mein Fehler war. Ich habe den Grundzustand mit dem Zustand ohne Teilchen verwechselt. Und ich habe Leiteroperatoren mit Energieniveaus der Felder mit Schöpfungsoperatoren verwechselt.

Antworten (2)

Was ist der Zusammenhang zwischen Hilbertraum und Pfadintegralen?

Erstens $a,a^{\dagger}$ Teilchen mit Impuls erzeugen und zerstören $k$ , es werden keine Angaben zur Position gemacht: $a^{\dagger}|0\rangle=|k\rangle$ . Eine Quantisierung in Form von Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren ist jedoch nur in einigen speziellen (linearen) Fällen möglich. Der Pfadintegralansatz ist der allgemeine und kann per Definition nicht abgerufen werden $a,a^{\dagger}$ zurück. Korrelationsfunktionen sind jedoch Erwartungswerte für das Vakuum, und in dieser Hinsicht können Sie beide Methoden verwenden, um sie zu berechnen und beide zu vergleichen.
Ich bin mir nicht sicher, was Sie fragen. Es gibt keinen „Amplitudenraum“, wir haben einen Zustandsraum . Warum möchten Sie das Pfadintegral "mit Erstellungs- / Vernichtungsoperatoren" sehen, da diese nur für freie Felder existieren, das Pfadintegral jedoch ein allgemeines Objekt sein soll.
Es gibt keine $\lvert x,y,z; t\rangle$ gibt an, weil QFT nicht wirklich einen Positionsoperator hat. Die Ein-Teilchen-Zustände sind normalerweise Impulszustände oder Überlagerungen davon. Was ist $\Delta(x,0,y,t)$ soll sein? Ich habe auch keine Ahnung was $\Psi[\phi_t] = \phi_t(x)\Psi_0[\phi_t]$ soll bedeuten, da die rhs davon abhängt $x$ (und ist somit keine Funktion einer Feldkonfiguration), das lhs jedoch nicht.
$\Delta(x,0,y,t)$ ist der Feynman-Propagator, um von (x,0) nach (y,t) zu gelangen. Ich sehe Ihren Einwand gegen die Gleichung nicht. Die gleichung $x=3$ ist gültig, obwohl die RHS nicht davon abhängt $x$ . Außerdem können Sie beliebige Impulszustände in Positionszustände Fourier-transformieren. Ich weiß nicht, was Sie meinen, es gibt keine Zustände dieser Form. $|x,y>$ ist die Amplitude des Auffindens von Partikeln sowohl bei x als auch bei y. Es ist symmetrisch für Bosonen und antisymmetrisch für Fermionen.
Es gibt keine solche Sache. Sie können Impulszustände nicht in Positionszustände Fourier-transformieren, da QFT keinen Positionsoperator hat. Dies ist kein QM, wo wir zwei Operatoren haben $x,p$ mit kanonischen Vertauschungsbeziehungen. Wir haben den (Vier-) Impulsoperator, aber es gibt keinen Positionsoperator in QFT, siehe diese Antwort und diese Antwort . Was Sie zu tun versuchen, ist schlecht definiert.
Ich verstehe nicht, wovon du redest. Der Feldoperator $\hat{\phi}(x)$ und es ist kanonisch konjugiert $\hat{\pi(x)}$ sind Positionsoperatoren. Oder Sie können sie in Bezug auf erweitern $\hat{\phi}(x) = \int e^{ix.k}a^+(k)dk +\int e^{-i x.k}a^-(k)dk$ Ist das nicht eine Fourier-Transformation?
Mit "Positionsoperator" meine ich einen Operator $x$ von denen Ihre angeblichen Staaten $\lvert x \rangle$ sind Eigenzustände. Sie sprechen von "dem Feynman-Propagator, um zu kommen $x,0$ Zu $y,t$ “, aber das bedeutet, dass es Zustände geben muss, die „Teilchen bei $x,0$ " und "Teilchen bei $y,t$ " an erster Stelle. Sie müssen diese Zustände definieren, damit die Frage einen Sinn ergibt. Das Fehlen eines richtigen Positionsoperators bedeutet für mich, dass Sie solche Zustände nicht richtig definieren können.
Ich verstehe deinen Einwand nicht. Schauen Sie sich en.wikipedia.org/wiki/Identical_particles an und sehen Sie, wo es steht $|x_1 x_2 x_3 >$ Warum sagst du immer, das gibt es nicht?
Das sind Zustände in der Quantenmechanik , nicht in der Quantenfeldtheorie .
Außerdem stimmt es nicht immer, dass man expandieren kann $\phi(x)$ bezüglich $a, a^{\dagger}$ . Eigentlich gilt das nur in einigen Sonderfällen (meistens für freie Felder).
Nun, umso mehr Grund, einfach zu verwenden $\hat{\phi}(x)$ und sein Konjugat. Jedenfalls habe ich gesehen, wo mein Fehler war. Ich habe den Grundzustand mit dem Zustand ohne Teilchen verwechselt. Und ich habe Leiteroperatoren mit Energieniveaus der Felder mit Schöpfungsoperatoren verwechselt.

zooby · Answer 1

Ich habe mir das angeschaut . Was mehr Aufschluss zu geben scheint.

Der Grundzustand kann geschrieben werden als:

< 0 | ϕ >= \int^{η_{0} = ϕ} e^{ich S [η]} D η

$<0|\phi> = \int\limits^{\eta_0=\phi}e^{i S[\eta]} D\eta$

Die Übergangsfunktion kann geschrieben werden als:

< ϕ | U (T, T^{'}) | ψ >= \int_{η_{T^{'}} = ψ}^{η_{T} = ϕ} e^{ich S [η]} D η

$<\phi|U(t,t')|\psi> = \int\limits^{\eta_t=\phi}_{\eta_{t'}=\psi}e^{i S[\eta]} D\eta$

So:

D (X - j) =< 0 | ϕ_{0} (X) ϕ_{T} (j) | 0 >=< 0 | ϕ_{T} > ϕ_{T} (X) < ϕ_{T} | U (T, T^{'}) | ϕ_{T^{'}} > ϕ (j) < ϕ | 0 >

$D(x-y) = <0|\phi_0(x)\phi_t(y)|0> = <0|\phi_t>\phi_t(x)<\phi_t|U(t,t')|\phi_{t'}>\phi(y)<\phi|0>$

= \int (\int^{η_{T} = ϕ_{T}} e^{ich S [η]} D η ϕ_{T} (X) \int_{η_{T^{'}} = ϕ_{T^{'}}}^{η_{T} = ϕ_{T}} e^{ich S [η]} D η ϕ_{T^{'}} (j) \int_{ψ_{T} = ϕ_{T}} e^{ich S [η]} D η) D ϕ D ψ

$= \int \left(\int\limits^{\eta_t=\phi_t}e^{i S[\eta]} D\eta \phi_t(x) \int\limits^{\eta_t=\phi_t}_{\eta_{t'}=\phi_{t'}}e^{i S[\eta]} D\eta \phi_{t'}(y)\int\limits_{\psi_t=\phi_t}e^{i S[\eta]} D\eta \right) D\phi D\psi$

= \int ϕ_{T} (X) ϕ_{T^{'}} (j) e^{ich S [ϕ]} D ϕ

$= \int \phi_t(x)\phi_{t'}(y) e^{iS[\phi]} D\phi$

Mehr oder weniger

zooby · Answer 2

Ich glaube, die Antwort ist, dass der Grundzustand nicht dasselbe ist wie der Zustand ohne Teilchen. Daher sollte das Wellenfunktional entwickelt werden als:

Ψ [ϕ, T] = ψ_{T} + \int ψ_{T} (X) ϕ (X) D X^{3} + \int ψ_{T} (X, j) ϕ (X) ϕ (j) D X^{3} D j^{3} + . . .

$\Psi[\phi,t] = \psi_t + \int \psi_t(x)\phi(x)dx^3 + \int \psi_t(x,y)\phi(x)\phi(y) dx^3 dy^3+...$

ohne etwas mit dem Grundzustand zu tun. Wo $\psi(x,y)$ zum Beispiel ist die Amplitude zum Erfassen von Partikeln sowohl bei x als auch bei y.

Ich glaube die $a^\pm(x)$ liegen (Ent-)Erregungen im Feld an $x$ und keine Erzeugungs-/Vernichtungsoperatoren für Partikel.

Ich denke, hier lag die Verwirrung.

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