Wegintegrale Ableitung der Zustands-Operator-Korrespondenz in einer CFT

Das Einfügen eines lokalen Operators bedeutet, den Integranden des Wegintegrals mit einem ortsfesten Operator zu multiplizieren. Auf diese Weise trägt nur der Wert des Operators an dieser Position zum Pfadintegral bei. Wenn Sie nun davon ausgehen, dass der Operator eine Einfügung an der Position ist$z=0$, was im vorliegenden Kontext der radialen Quantisierung dem Anfangszeitpunkt entspricht, spielt lediglich die Rolle eines Gewichtungsfaktors. Das Konzept ist aus den Formeln verständlich, die Sie aufgeschrieben haben: In der ersten haben Sie die allgemeine Form wo$t_i$willkürlich gelassen wird, und im zweiten beschränken Sie den Operator auf eine bestimmte Position$t_i=0$, also "lokalisieren".

Als Referenz kann ich Ihnen das zweite Kapitel von Polchinski empfehlen: Es behandelt Einfügungen sowohl im allgemeinen Kontext als auch in ihrer Anwendung auf die radiale Quantisierung und die Operator/Zustands-Korrespondenz.

Das Folgende sollte eher ein Kommentar als eine Antwort sein. Da es für einen Kommentar jedoch etwas lang war, schreibe ich ihn in das Antwortfeld.

Im Fall einer Feldtheorie können Zustände als Funktionen auf dem Raum von Randbedingungen auf einer räumlichen Schicht betrachtet werden. Dies liegt daran, dass der Raum der Randbedingungen auf einem räumlichen Schnitt der Konfigurationsraum ist und (nach der Definition der kanonischen Quantisierung) die Quantenzustände Funktionen auf dem Konfigurationsraum sind.

Bei einer Feldtheorie in der komplexen Ebene mit der radialen Richtung als Zeitrichtung haben nun räumliche Schnitte die Form von Kreisen. Daher sind die Quantenzustände jetzt Funktionen auf dem Raum der Randbedingungen auf einem Kreis mit festem Radius. Wir können jeden Kreis mit einem Radius ungleich Null wählen, um unseren Quantenraum zu definieren.

Wenn, bezeichnen wir mit$H$unser Zustandsraum ist dann das Pfadintegral auf einem Kreisring$A$mit festen Randbedingungen auf seinem inneren und äußeren Randkreis definiert eine Karte

$$T_A : H\to H$$

Dies ist die Aussage des ersten Integrals in Ihrer Frage. Wenn wir einen Zustand auf dem inneren Begrenzungskreis haben, können wir einen Zustand auf dem äußeren Begrenzungskreis erhalten, indem wir das Pfadintegral bilden.

Betrachten Sie nun anstelle eines Rings eine Scheibe. In diesem Fall haben wir nur eine Grenze. Wenn wir eine lokale Funktion einfügen$\mathcal{O}(\phi(0),\partial_{z}\mathcal{O}(0))$am Ursprung und führen ein Pfadintegral über die gesamte Scheibe aus, dann erhalten wir natürlich einen Quantenzustand$H$(Wenn wir eine Randbedingung festlegen und dann das Pfadintegral durchführen, erhalten wir eine Zahl. Somit ergibt das Pfadintegral eine Funktion für den Raum der Randbedingungen an der Grenze der Scheibe, die per Definition ein Quantenzustand ist). Somit Pfad integral auf der Scheibe$D$(von beispielsweise einem Einheitsradius) mit einer am Ursprung eingefügten lokalen Funktion definiert eine Karte

$$T_{D}:\{\text{space of local functionals at the origin}\}\to H$$

Dies gilt in jeder zweidimensionalen Feldtheorie. Im Fall einer konformen Feldtheorie ist die Abhängigkeit der obigen Abbildung von der Geometrie der Scheibe jedoch viel einfacher als in einer Theorie ohne konforme Symmetrie.

Es gibt ein Wörterbuch, das den Pfadintegralformalismus in den Operatorformalismus übersetzt. Ein Matrixelement einer Folge lokaler Operatoren in zeitlicher Reihenfolge wird in ein Pfadintegral mit Feldeinfügungen übersetzt, z

$$\langle \psi_2|\mathcal{T}\mathcal{O}_1[\phi(x_1),x_1]\mathcal{O}_2[\phi(x_2),x_2]|\psi_1\rangle\rightarrow \int_{BC} \mathcal{D}\phi...\mathcal{O}_1[\phi(x_1),x_1]\mathcal{O}_2[\phi(x_2),x_2]e^{iS}$$

mit$BC$als geeignete Randbedingung stehen und ggf. auch bei anderen Randbedingungen gewichten.$BC$sind verwandt mit der$|\psi_i\rangle$'s Staaten. Das funktioniert$\mathcal{O}_i$sollten explizit von den Feldern abhängen, sonst sind es einfache c-Zahlen (können außerhalb des Pfadintegrals stehen).

Nun, wenn Sie haben:

$$\psi[ \phi_f(x),t_f] = \int d\phi_i \int\limits_{\phi(0) = \phi_i}^{\phi(x,t_f) = \phi_f(x) }\mathcal{D}\phi\, e^S\, \psi(\phi_i , 0)\rightarrow \int\limits_{no\,BC\,here}^{\phi(x,t_f) = \phi_f(x) }\mathcal{D}\phi\, e^S\, \Psi[\phi(0),0]$$

also das Integral in$d\phi_i$kann in die Maßnahme aufgenommen werden, was bedeutet, dass es keine Randbedingung gibt$x=0$nicht mehr, weil Sie dort alle möglichen Werte aufsummieren. Das Gewicht$\psi(\phi_i , 0)$kann als Funktion des ausgewerteten Feldes betrachtet werden$x=0$, ein lokaler Operator, bewertet bei$x=0$.

Jetzt können Sie eine Zustandseinstellung definieren$\Psi[\phi(0),0]=1$

$$|0\rangle \leftrightarrow \psi_0[ \phi(x),t] =\int^{\phi(x,t) = \phi(x) }\mathcal{D}\phi\, e^S\times 1$$

jetzt haben Sie für einen beliebigen Zustand:

$$|\psi\rangle \leftrightarrow \psi[ \phi(x),t]=\int^{\phi(x,t) = \phi(x) }\mathcal{D}\phi\, e^S\, \Psi[\phi(0),0] \leftrightarrow \Psi[\phi(0),0]|0\rangle$$

Jedes Bundesland$|\psi\rangle$kann aus einem lokalen Operator erstellt werden$\Psi[\phi(0),0]$wirken auf die$|0\rangle$Zustand:

$$|\psi\rangle=\Psi[\phi(0),0]|0\rangle$$

Betrachten wir den Vakuumzustand:

$$\Psi_0[\phi_f]=\int d\phi_i \int_{\phi(0)=\phi_i}^{\phi(x,t_f)=\phi_f} [d\phi(x,t)]\exp\left[\frac{i}{\hbar}\int_0^{t_f} dt' L\right]\,.$$ Lassen Sie uns nun überlegen, mit einem lokalen Operator auf das Vakuum einzuwirken $O(0)$am Ursprung. Ein lokaler Operator ist in diesem Zusammenhang eine lokale Funktion der Felder $\phi$, also schreibe ich es als $O[\phi(0)]$. Der resultierende Zustand ist $$\Psi_O[\phi_f]=\int d\phi_i \int_{\phi(0)=\phi_i}^{\phi(x,t_f)=\phi_f} [d\phi(x,t)]\exp\left[\frac{i}{\hbar}\int_0^{t_f} dt' L\right]O[\phi_i]\,.$$ Jetzt können wir der von Ihnen geschriebenen Wellenfunktion einen Operator hinzufügen $O$über $O[\phi_i]=\psi(\phi_i,0)$.