Hermitische Konjugation in radialer Quantisierung

Ich bin ein wenig verwirrt über die hermitische Konjugation in einer radial quantisierten CFT. Nun, in der Minkowski-Theorie lässt die hermitische Konjugation die Koordinaten invariant, dh T † = T Und X † = X . Dann rotieren wir die Theorie auf die euklidische Zeit T → − ich τ und deshalb τ † = − τ . Als nächstes definieren wir die komplexen Koordinaten auf der euklidischen Ebene w = X + ich τ Und w ¯ = X − ich τ . Das hermitesche Konjugat von wirkt auf dieser Koordinate als w † = w Und w ¯ † = w ¯ . Auf der radialen Ebene mit z = e − ich w wir bekommen

z † = e ich w † = e ich w = 1 z

Francesco sagt jedoch ausdrücklich (S. 152, obige Gleichung (6.4)), dass z † = 1 z ∗ .

Wo gehe ich falsch? Kann das jemand erklären?

In der Google Books-Version unter books.google.at/books?id=keUrdME5rhIC&dq gibt es keine solche Angabe. Vielleicht ist es eine andere Version? Ich habe mich selbst überprüft und bin bei der gleichen Beziehung wie Sie gelandet.
@FredericBrünner Das gibt es. Gehen Sie zu S. 152 („Der Operatorformalismus“). Oberhalb von Gl. (6.4) heißt es: „Bei der radialen Quantisierung entspricht dies einer Abbildung z → 1 / z ∗ ..." Ich denke nicht, dass es sich um einen Tippfehler handelt, da er diese Zuordnung danach ziemlich häufig in seinen Berechnungen verwendet.

Antworten (1)

Das gleiche Ergebnis ist in Kiritsis, daher glaube ich nicht, dass es sich um einen Tippfehler handelt. Hier ist, was meiner Meinung nach vor sich geht. Hermitesche Konjugation ist eine Operation, die für die Operatoren auf dem Hilbert-Raum definiert ist. Wie Sie sagten, bleiben im Minkowski-Raum die Koordinaten invariant, sie berühren t und x nicht. Mit anderen Worten, wenn ich stattdessen die Koordinate verwenden würde z = T + ich X in der Minkowski-Theorie, wenn ich Operatoren hermitesch konjugiere, berühre ich immer noch nicht z (es geht nicht zu T − ich X ). Wie du schon sagtest, wenn du Wick drehst τ = ich T Die hermitische Konjugation hat auch eine geometrische Bedeutung: Sie ist Zeitumkehrung. In der euklidischen Theorie macht man also auch eine Zeitumkehr, wenn man hermitisch konjugiert. Sie konjugieren nicht die ganze Koordinate z, Sie senden nur τ → − τ . Natürlich in radialer Quantisierung R = e τ die Zeitumkehrung beläuft sich auf Inversion durch den Kreis, der in komplexen Koordinaten liegt z → z z z ∗ = 1 z ∗ . Also ich denke, Ihr Schritt w † = w ist falsch, du willst † : τ − ich X → − τ − ich X . Dadurch erhalten Sie die richtige Beziehung.

Dies hängt im Wesentlichen mit der Tatsache zusammen, dass bei der radialen Quantisierung die hermitische Konjugation der Inversion entspricht. Zum Beispiel ( P μ ) † = ICH P μ ICH = K μ . Aus diesem Grund benötigen Sie winkeltreu (nicht nur Skaleninvarianz), um vom Zylinder zur Ebene zu gelangen: Wenn Sie dies nicht haben K μ Sie können keine sinnvolle adjungierte Operation auf der Ebene konstruieren.

( P μ ) † = ICH P μ Ich, sagst du. Wie kommt es, dass der adjungierte Betrieb wie eine kontinuierliche Evolution aussieht? Gibt es davon eine Infinitesimal-Version? Wie sieht man das intuitiv?
@levitt: ICH ist eine Inversion, die eine diskrete Transformation ist.
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