Definitionen des normalen Ordnungsoperators in CFTs und QFTs

Erinnern Sie sich, dass die normale Reihenfolge von bosonischen Operatoren in QFT durch eine Neuanordnung von Operatoren definiert ist, um Erzeugungsoperatoren links von Vernichtungsoperatoren im Produkt zu platzieren. Dadurch soll eine versehentliche Vernichtung vermieden werden | 0 ⟩ bei Betrachtung eines Erwartungswertes in Bezug auf den Vakuumzustand.

: B ^ † B ^ : = B ^ † B ^ : B ^ B ^ † : = B ^ † B ^

In CFTs habe ich gesehen, dass die normale Ordnung von Operatoren als das nullte Basisfeld der Laurent-Erweiterung des radialen Ordnungsprodukts definiert ist.

R ( A ( z ) B ( w ) ) = ∑ N = − N 0 ∞ ( z − w ) N P N ( w ) ,

und auswählen

P 0 ( w ) = : A ( w ) B ( w ) :

Gibt es eine Äquivalenz zwischen diesen beiden Definitionen? Was ist das CFT-Analogon, das Vakuum nicht zu vernichten / wie zeigen wir, dass diese Definition diese Eigenschaft hat?

Huh, interessant, das zweite ist etwas, das ich nicht gesehen habe (glaube ich).
Die radiale Anordnung, wie Sie sie definiert haben, ist eindeutig eine allgemeinere Sache, deren P 0 Teil beinhaltet die normale Bestellung als Werkzeug. Die Äquivalenz, nach der Sie fragen, ist also wie die Äquivalenz zwischen den Vereinigten Staaten und New Jersey. Der normal geordnete Teil von New Jersey ist äquivalent, der Rest jedoch nicht. Ganz allgemein entspricht die radiale Ordnung der zeitlichen Ordnung, aber die zeitliche Ordnung und die normale Ordnung sind ziemlich unterschiedliche Dinge, obwohl sie einige mathematische Analogien haben.
Enthält das OPE zweier Felder nur einen singulären Term mit konstantem Koeffizienten wie bei freien Feldern, so kann die Subtraktion des Vakuumerwartungswerts (Ihre erste Definition) als richtiges Regularisierungsverfahren dienen. Wenn das OPE komplizierter ist, wie z. B. das Produkt zweier Energie-Impuls-Tensoren, müssen Sie alle singulären Terme als Ihre zweite Definition subtrahieren.

Antworten (1)

In der Quantenfeldtheorie kann für nicht wechselwirkende Felder die normale Ordnung definiert werden, indem gefordert wird, dass das Produkt der beiden Felder keinen Singularteil hat. Da für nicht wechselwirkende Felder der Singularteil nichts anderes ist als der Vakuumerwartungswert (und nur 1 Term), reicht es aus zu schreiben:

: ϕ 2 : = ϕ 2 − ⟨ ϕ ϕ ⟩

Bei CFT können wir das nicht einfach tun. Nehmen Sie den Energie-Impuls-Tensor. Es ist bekannt als OPE:

T ( z ) T ( w ) = C / 2 ( z − w ) 4 + 2 T ( w ) ( z − w ) 2 + ∂ T ( w ) ( z − w ) + R e G u l A R T e R M S
wenn wir versuchen, herauszunehmen ⟨ T ( z ) T ( w ) ⟩ , wir erhalten:
T ( z ) T ( w ) − ⟨ T ( z ) T ( w ) ⟩ = 2 T ( w ) ( z − w ) 2 + ∂ T ( w ) ( z − w ) + R e G u l A R T e R M S
was immer noch einzigartig ist.

Anstatt nur den VAV zu subtrahieren, wird dann jeder nicht singuläre Term herausgenommen. Wenn wir zwei Operatoren mit dem folgenden OPE haben:

A ( z ) B ( w ) = ∑ N − ∞ N { A B } N ( w ) ( z − w ) N
mit N positive ganze Zahlen (was bedeutet, dass die Anzahl der singulären Teile endlich sein kann) und { A B } N ( w ) die resultierenden Felder der Erweiterung. Wir definieren dann das normal bestellte Produkt als:
( A B ) ( w ) := { A B } 0 ( w )
Tatsächlich können wir die Kontraktion definieren als:
C ( A ( z ) B ( w ) ) := ∑ N = 1 N { A B } N ( w ) ( z − w ) N
Und dann ist das normal bestellte Produkt nur:
( A B ) ( w ) = lim z → w [ A ( z ) B ( w ) − C ( A ( z ) B ( w ) ) ]
da alle Begriffe { A B } N ( z − w ) N mit N > 0 geht auf Null als z → w .

In diesem Zusammenhang können wir dieses normal bestellte Produkt integral darstellen als:

( A B ) ( z ) = ∮ z D w 2 π ich A ( w ) B ( z ) w − z
wobei das Konturintegral den Punkt enthält z .

Nur für das Quadrat beinhaltet die normale Ordnung im freien Feld nur einen Begriff. Zum Beispiel : ϕ 4 := ϕ 4 − 6 ⟨ ϕ 2 ⟩ ϕ 2 + 3 ⟨ ϕ 2 ⟩ 2 . Im Allgemeinen ist der Ausdruck ein Hermite-Polynom. Es ist jedoch wahr, dass das OPE, selbst im freien Fall, das ist, was die richtige normale Reihenfolge regelt.
Ja, ich schrieb "das Produkt zweier Felder", und im folgenden Satz war implizit, dass ich mich nur auf zwei davon bezog. Entschuldigung, wenn es unklar war.
Definitionen des normalen Ordnungsoperators in CFTs und QFTs
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