Normale Reihenfolge des Identitätsoperators

Question

Normale Reihenfolge des Identitätsoperators

Lernen ist ein Chaos

Ich bin verwirrt darüber, was die normale Reihenfolge des Identitätsoperators (oder eines proportionalen Operators) sein sollte:

Wenn man es aus der Sicht der "Fock-Raumoperatoren" betrachtet, besteht die Vorschrift darin, alle Erzeugungsoperatoren nach links und die Vernichter nach rechts zu verschieben, aber die Identität per Definition als nicht von diesen, sollte also unverändert bleiben.

Aber ich stoße auf mehrere Kontraktionen:

Die normale Bestellung eines Operators sollte ein verschwindendes vev haben, also
$< : ICH : >= 0 \neq < ICH >$ $<\, : \mathbb{I} :\, > = 0 \ne\, < \mathbb{I}>$
mit dem Kommutator zwischen den $a$ Und $a^{\dagger}$ :
$: A A^{†} : = A^{†} A = : A^{†} A + ICH := A^{†} A + : ICH :$ $:aa^{\dagger}: \, = \,a^{\dagger}a =\, :a^{\dagger}a + \mathbb{I}: = \,a^{\dagger}a + :\mathbb{I}:$ wo ich den Kommator benutzt habe, um von der ersten zur dritten zu gelangen, und ansonsten die normale Reihenfolge. Identifizierung des zweiten und vierten gibt mir wieder $\,:\mathbb{I}:\,\, = 0$ .
zuletzt sollte der vev des Exponentials eines beliebigen Operators Null sein ( $<:e^{A}:>\, = 0$ ), das Erweitern der Exponentialfunktion gibt mir wieder $<\,:\mathbb{I}:\,>\, = 0$ .

Ist das das Endergebnis oder gibt es noch weitere Feinheiten?

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Normale Reihenfolge des Identitätsoperators

QMechaniker · Answer 1

Kommentare zur Frage:

Unter dem Bestellsymbol (wie zB Normalbestellung $:\ldots:$ , Zeitbestellung $T(\ldots)$ , radiale Anordnung ${\cal R}(\ldots)$ , etc) alle Operatoren (super)pendeln, zB
$: \hat{A} \hat{B} : = (- 1)^{| \hat{A} | | \hat{B} |} : \hat{B} \hat{A} :,$ $: \hat{A}\hat{B}: ~=~ (-1)^{|\hat{A}||\hat{B}|}: \hat{B}\hat{A}:,$ auch wenn der (Super-)Kommutator $[\hat{A},\hat{B}]\neq 0$ ist nicht verschwindend.
Ordnung eines einzelnen elementaren (=nicht zusammengesetzten) Operators (wie z $\hat{a}$ , $\hat{a}^{\dagger}$ , ${\bf 1}$ , etc) ist überflüssig.

Sebastian Peotta · Answer 2

Sie können meine Antwort auf einen verwandten Beitrag überprüfen, der eine axiomatische Definition der normalen Ordnung als eine Funktion enthält, die in der freien Algebra definiert ist, die durch Erstellungs- und Vernichtungsoperatoren generiert wird. Nach dieser Formulierung ${:}1{:} = 1$ . Dort wird auch erklärt, wie Paradoxien der normalen Ordnung aufgelöst werden. Die Aussage "der Erwartungswert der normalen Ordnung eines beliebigen Operators (einschließlich der Identität) auf dem Vakuum ist Null" ist nach dieser Formulierung falsch. Dies steht im Einklang mit Gl. (82) in dem bekannten Artikel "Bosonisierung für Einsteiger und - Referenzierung für Experten" von Delf und Schöller [Ann. Phys. 7 , 225 (1998)], was impliziert $\langle{:}e^{i\phi}{:}\rangle = 1$ .

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QMechaniker

Sebastian Peotta

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