Kontraktion zwischen Skalarfeld und Impuls-Eigenzustand

Question

Kontraktion zwischen Skalarfeld und Impuls-Eigenzustand

Trägheitsbeobachter

Bei der Lösung der $\phi^4$ Theorie in Peskin definieren wir die Kontraktion (auf S. 110 Gl. 4.94)

C (ϕ (X) | P ⟩) = ϕ (X) | P ⟩ .

$C\left(\phi(x)|p \rangle \right)=\phi(x)|p \rangle .$

Das heißt, die Kontraktion ist nur die Wirkung von $\phi(x)$ auf den Staat $|p\rangle$ . Peskin behauptet das

ϕ (X) | P ⟩ = e^{- ich P X} | 0 ⟩ .

$\phi(x)|p\rangle =e^{-ipx}|0\rangle.$

Allerdings, wenn ich rechne

\begin{aligned} ϕ (X) | P ⟩ & = \int \frac{D^{3} P^{'}}{(2 π)^{3}} (A_{P^{'}} e^{- ich P^{'} \cdot X} + A_{P^{'}}^{†} e^{ich P^{'} \cdot X}) A_{P}^{†} | 0 ⟩ \\ = \int \frac{D^{3} P^{'}}{(2 π)^{3}} ([A_{P^{'}}, A_{P}^{†}] e^{- ich P^{'} \cdot X} | 0 ⟩ + e^{ich P^{'} \cdot X} A_{P^{'}}^{†} A_{P}^{†} | 0 ⟩) \\ = \int \frac{D^{3} P^{'}}{(2 π)^{3}} ((2 π)^{3} δ^{3} (P - P^{'}) e^{- ich P^{'} \cdot X} | 0 ⟩ + e^{ich P^{'} \cdot X} A_{P^{'}}^{†} A_{P}^{†} | 0 ⟩) \\ = e^{- ich P X} | 0 ⟩ + \int \frac{D^{3} P^{'}}{(2 π)^{3}} e^{ich P^{'} \cdot X} A_{P^{'}}^{†} A_{P}^{†} | 0 ⟩ \end{aligned}

$\begin{align*} \phi(x)|p\rangle&=\int\frac{d^3p'}{(2\pi)^3}\left(a_{p'}e^{-ip'\cdot x}+ a_{p'}^\dagger e^{ip'\cdot x}\right)a^\dagger_{p}|0\rangle \\ &=\int\frac{d^3p'}{(2\pi)^3}\left([a_{p'},a^\dagger_p]e^{-ip'\cdot x}|0\rangle+ e^{ip'\cdot x} a_{p'}^\dagger a_p^\dagger|0\rangle\right)\\ &=\int\frac{d^3p'}{(2\pi)^3}\left((2\pi)^3\delta^3(p-p')e^{-ip'\cdot x}|0\rangle+ e^{ip'\cdot x} a_{p'}^\dagger a_p^\dagger|0\rangle\right)\\ &=e^{-ipx}|0\rangle + \int\frac{d^3p'}{(2\pi)^3}e^{ip'\cdot x} a_{p'}^\dagger a_p^\dagger|0\rangle \end{align*}$

Also bleibt mir ein zusätzlicher Begriff, aber ich sehe keinen Grund, warum er verschwinden sollte.

AccidentalFourierTransform

Welche Edition von P&S verwendest du? In der einen, die ich habe (1.), unterscheidet sich die Gleichung, auf die Sie verweisen, von der, die Sie zitieren. Ist Ihnen beim Abschreiben ein Tippfehler unterlaufen?

Trägheitsbeobachter

Entschuldigung, ich habe die richtigen Änderungen vorgenommen.

AccidentalFourierTransform

Es ist immer noch anders...

Trägheitsbeobachter

Ich habe mein Lehrbuch im Moment nicht ... aber ich habe die neueste Version ... Ich werde es bald aktualisieren

Trägheitsbeobachter

Die Gleichung, die ich geschrieben habe, ist so, wie sie in der neuesten Version von Peskin geschrieben ist.

AccidentalFourierTransform

Nun, die 1. Ausgabe hatte es richtig gemacht, und es scheint, dass sie es in späteren Ausgaben durcheinander gebracht haben. Die richtige Formel ist diese . Dies behebt das Problem. Beifall!

Trägheitsbeobachter

Aber das sagt mir immer noch nicht, was mit dem zweiten Begriff passiert. Es bedeutet nur, dass er die Kontraktion als die Wirkung auf den Leiteroperator definiert. Also ich hätte das zweite Semester einfach noch ohne die

| 0 ⟩

$| 0\rangle$ .

AccidentalFourierTransform

Die Kontraktion von

ϕ (x)

$\phi(x)$ Und

| p ⟩

$|p\rangle$ ist definiert als

e^{i p x}

$\mathrm e^{ipx}$ . Es ist nicht definiert als

ϕ (x) | p ⟩

$\phi(x)|p\rangle$ . Daher ist der von Ihnen (richtig) berechnete Ausdruck hier völlig irrelevant.

Trägheitsbeobachter

Wenn ich also gebeten werde, den Positionsraum zu finden, gelten die Feynman-Regeln für die

ϕ^{4}

$\phi^4$ Theorie (die das Finden von Faktoren für die äußeren Beine beinhaltet), soll ich sie einfach definieren?

AccidentalFourierTransform

Nein, Sie sollen den Faktor berechnen, der den äußeren Beinen zugeordnet ist, und die Kontraktion von definieren

ϕ (x)

$\phi(x)$ Und

| p ⟩

$|p\rangle$ dieser Faktor zu sein. Wenn

ϕ

$\phi$ ein Skalarfeld ist, wird die Kontraktion immer sein

e^{i p x}

$\mathrm e^{ipx}$ . Für ein Dirac-Feld wird es beides sein

u (p) e^{i p x}

$u(p)\mathrm e^{ipx}$ oder

v (p) e^{i p x}

$v(p)\mathrm e^{ipx}$ , für Teilchen bzw. Antiteilchen. Für ein Vektorfeld gilt:

ϵ^{μ} (p) e^{i p x}

$\epsilon^\mu(p)\mathrm e^{ipx}$ . Usw.

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Kontraktion zwischen Skalarfeld und Impuls-Eigenzustand

Welche Edition von P&S verwendest du? In der einen, die ich habe (1.), unterscheidet sich die Gleichung, auf die Sie verweisen, von der, die Sie zitieren. Ist Ihnen beim Abschreiben ein Tippfehler unterlaufen?
Entschuldigung, ich habe die richtigen Änderungen vorgenommen.
Ich habe mein Lehrbuch im Moment nicht ... aber ich habe die neueste Version ... Ich werde es bald aktualisieren
Die Gleichung, die ich geschrieben habe, ist so, wie sie in der neuesten Version von Peskin geschrieben ist.
Nun, die 1. Ausgabe hatte es richtig gemacht, und es scheint, dass sie es in späteren Ausgaben durcheinander gebracht haben. Die richtige Formel ist diese . Dies behebt das Problem. Beifall!
Aber das sagt mir immer noch nicht, was mit dem zweiten Begriff passiert. Es bedeutet nur, dass er die Kontraktion als die Wirkung auf den Leiteroperator definiert. Also ich hätte das zweite Semester einfach noch ohne die $| 0\rangle$ .
Die Kontraktion von $\phi(x)$ Und $|p\rangle$ ist definiert als $\mathrm e^{ipx}$ . Es ist nicht definiert als $\phi(x)|p\rangle$ . Daher ist der von Ihnen (richtig) berechnete Ausdruck hier völlig irrelevant.
Wenn ich also gebeten werde, den Positionsraum zu finden, gelten die Feynman-Regeln für die $\phi^4$ Theorie (die das Finden von Faktoren für die äußeren Beine beinhaltet), soll ich sie einfach definieren?
Nein, Sie sollen den Faktor berechnen, der den äußeren Beinen zugeordnet ist, und die Kontraktion von definieren $\phi(x)$ Und $|p\rangle$ dieser Faktor zu sein. Wenn $\phi$ ein Skalarfeld ist, wird die Kontraktion immer sein $\mathrm e^{ipx}$ . Für ein Dirac-Feld wird es beides sein $u(p)\mathrm e^{ipx}$ oder $v(p)\mathrm e^{ipx}$ , für Teilchen bzw. Antiteilchen. Für ein Vektorfeld gilt: $\epsilon^\mu(p)\mathrm e^{ipx}$ . Usw.

Trägheitsbeobachter · Answer 1

Am Ende bin ich alleine zu diesem Thema gekommen, also denke ich, ich würde es teilen, falls jemand anderes die gleiche Frage hätte. Wie die versehentliche Fourier-Transformation hervorhob, ist die in meiner ursprünglichen Frage angegebene Definition nicht die richtige Definition der Kontraktion eines Felds mit einem Impuls-Eigenzustand. Die richtige Definition ist

\begin{matrix} (A) & C (ϕ | P ⟩) = e^{- ich P X} \end{matrix}

$C(\phi | p \rangle) = e^{-ipx}\tag{a}$

Die richtige Art, darüber nachzudenken, ist, dass diese Kontraktionsdefinition nur eine Notation für die normale Reihenfolge des Unkontrahierten ist $\phi$ Wirkung der Operatoren auf die Impuls-Eigenzustände .

Allerdings habe ich immer noch nicht die Motivation für diese Definition gesehen. Aber es macht absolut Sinn. Hier ist die Motivation. Unter Verwendung des Satzes von Wick in der $S$ -Matrix haben wir das

⟨ P_{1}, P_{2} | N (- ich \frac{λ}{4!} \int D^{4} X ϕ^{4} + Kontraktionen) | P_{A}, P_{B} ⟩ .

$\langle p_1, p_2|N\left( -i\frac{\lambda}{4!}\int d^4x\ \phi^4 + \text{contractions}\right)|p_a,p_b\rangle.$

Nun bezieht sich der Begriff "Kontraktionen" nur auf die Kontraktionen der $\phi$ Betreiber untereinander, wie üblich. Aber wie Peskin auf der vorherigen Seite feststellt, tragen diese Kontraktionen nur zum trivialen Teil von bei $S$ -Matrix, also ignorieren wir diese Begriffe. Dies lässt nur die unvertraglich $\phi$ s unter dem normalen Bestelloperator.

Um damit umzugehen, verwenden wir die $\phi_+, \phi_-$ Operatoren (wie Peskin sie definiert). Stecken Sie diese ein und erweitern Sie sie, erhalten wir

\begin{matrix} (1) & - ich \frac{λ}{4!} \int D^{4} X ⟨ P_{1}, P_{2} | N (ϕ_{-}^{4} \dots + ϕ_{-} ϕ_{-} ϕ_{+} ϕ_{+} \dots + ϕ_{+}^{4}) | P_{A}, P_{B} ⟩ . \end{matrix}

$-i\frac{\lambda}{4!}\int d^4x \langle p_1, p_2|N\left(\phi_-^4 \ldots + \phi_-\phi_-\phi_+\phi_+\ldots+\phi_+^4 \right)|p_a,p_b\rangle.\tag{1}$

Nun, mit der Tatsache, dass $[\phi_+,a^\dagger_p]=e^{-ipx}$ es ist einfach, das zu zeigen

\begin{matrix} (2) & ϕ_{+} ϕ_{+} A_{P_{A}}^{†} A_{P_{B}}^{†} | 0 ⟩ = 2 e^{- ich P_{A} X} e^{- ich P_{B} X} | 0 ⟩ \end{matrix}

$\phi_+\phi_+a^\dagger_{p_a}a^\dagger_{p_b}|0\rangle = 2e^{-ip_ax}e^{-ip_bx}|0\rangle \tag{2}$ .

Daher nur Terme mit genau zwei $\phi_+$ Und $\phi_-$ überleben. Es gibt 6 solcher Terme in Gleichung (1). Daran erinnern, dass die $N$ Betreiber macht sie alle $\phi_-\phi_-\phi_+\phi_+$ . Verwenden Sie eine ähnliche Beziehung wie (2) für die beiden $\phi_-$ , das verstehen wir

\begin{aligned} ⟨ P_{1}, P_{2} | N (ϕ_{-}^{4} \dots + ϕ_{-} ϕ_{-} ϕ_{+} ϕ_{+} \dots + ϕ_{+}^{4}) | P_{A}, P_{B} ⟩ & = (6) (2) (2) e^{- ich P_{A} X} e^{- ich P_{B} X} e^{ich P_{1} X} e^{ich P_{2} X} \\ = 4! e^{- ich P_{A} X} e^{- ich P_{B} X} e^{ich P_{1} X} e^{ich P_{2} X}, \end{aligned}

$\begin{align*} \langle p_1, p_2|N\left(\phi_-^4 \ldots + \phi_-\phi_-\phi_+\phi_+\ldots+\phi_+^4 \right)|p_a,p_b\rangle &= (6)(2)(2)e^{-ip_ax}e^{-ip_bx}e^{ip_1x}e^{ip_2x}\\ &=4!e^{-ip_ax}e^{-ip_bx}e^{ip_1x}e^{ip_2x}, \end{align*}$

was kombinatorisch die Kontraktionsdefinition in (a) rechtfertigt.

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