Normierung von Impuls-Eigenzuständen in der QFT

Question

Normierung von Impuls-Eigenzuständen in der QFT

Physik
Hilbert-Raum
Normalisierung
Quantenzustände
Quantenfeldtheorie

ersbygre1

Inspiriert von einer früheren Frage möchte ich nach der Normalisierung von Ein-Teilchen-Zuständen in QFT fragen.

Die häufigste Normalisierung scheint die kovariante zu sein:

\begin{matrix} (1) & ⟨ {\vec{P}}^{'} | \vec{P} ⟩ = (2 π)^{3} 2 E (\vec{P}) δ^{(3)} (\vec{P} - {\vec{P}}^{'}) \leftrightarrow 1 1 = \int \frac{D^{3} \vec{P}}{(2 π)^{3}} \frac{1}{2 E (\vec{P})} | \vec{P} ⟩ ⟨ \vec{P} | \end{matrix}

$\langle \vec p'|\vec p\rangle = (2\pi)^3 2E(\vec p)\delta^{(3)}(\vec p-\vec p') \quad\leftrightarrow\quad 1\!\!1 = \int\frac{\text{d}^3\vec p}{(2\pi)^3}\frac{1}{2E(\vec p)} |\vec p\rangle\langle \vec p| \tag{1}$ aber andere Entscheidungen scheinen möglich zu sein, z

\begin{matrix} (2) & ⟨ {\vec{P}}^{'} | \vec{P} ⟩ = (2 π)^{3} δ^{(3)} (\vec{P} - {\vec{P}}^{'}) \leftrightarrow 1 1 = \int \frac{D^{3} \vec{P}}{(2 π)^{3}} | \vec{P} ⟩ ⟨ \vec{P} | \end{matrix}

$\langle \vec p'|\vec p\rangle = (2\pi)^3 \delta^{(3)}(\vec p-\vec p') \quad\leftrightarrow\quad 1\!\!1 = \int\frac{\text{d}^3\vec p}{(2\pi)^3} |\vec p\rangle\langle \vec p| \tag{2}$

Was ist der Hauptvorteil der Normalisierung (1) (wie die meisten Lehrbücher sie zu verwenden scheinen)?
Welche Freiheit haben wir bei der Wahl einer (anderen) Normalisierung in der QFT?

Antworten (1)

Normierung von Impuls-Eigenzuständen in der QFT

Connor Behan · Answer 1

Wenn Sie bereit sind, zusätzliche Faktoren in der LSZ-Formel und dergleichen im Auge zu behalten, scheint es mir, dass Sie die Normalisierung beliebig ändern können. Aber der Grund, warum die nullte Komponente im Standardmaß erscheint, ist, dass Sie damit das Integral über 3 Impulse als lorentzinvariantes Integral über 4 Impulse schreiben können.

\int \frac{D^{3} \vec{P}}{(2 π)^{3}} \frac{1}{2 E (\vec{P})} = \int \frac{D^{4} P}{(2 π)^{3}} δ (P^{2} + M^{2}) θ (P^{0})

$\begin{equation} \int \frac{d^3 \vec{p}}{(2\pi)^3} \frac{1}{2E(\vec{p})} = \int \frac{d^4 p}{(2\pi)^3} \delta(p^2 + m^2) \theta(p^0) \end{equation}$ Genauer gesagt ist dies unter der eigentlichen orthochronen Lorentz-Gruppe seitdem invariant

θ (p^{0})

$\theta(p^0)$ ist da, um eine einzelne Null aus der Massenschalenbedingung herauszusuchen.

Vielen Dank für Ihre Antwort! Ich verstehe den Zusammenhang mit der LSZ-Formel nicht, könnten Sie das bitte näher erläutern?
Ich sage nur, dass die von Ihnen verwendete Normalisierung beispielsweise auch in der Moduserweiterung für Felder angezeigt wird $\phi(x) = \int \frac{d^3 \vec{p}}{(2\pi)^3} \frac{1}{2E(\vec{p})} \left [ a(\vec{p}) e^{ipx} + a^\dagger(\vec{p}) e^{-ipx} \right ]$ . Dies wirkt sich auf den Wert von aus $\left < p \right | \phi(x) \left | 0 \right >$ das ist einer der Bestandteile in der Formel für eine Streuamplitude.

Normierung von Impuls-Eigenzuständen in der QFT

ersbygre1

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Connor Behan

ersbygre1

Connor Behan

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