Wie wird die "Normierung" von nicht normierbaren Zuständen gewählt?

Gl. (2) ist nicht eindeutig bestimmt, indem man sagt, dass die$\lvert x\rangle$sind "Positionseigenzustände", was zunächst eine schlechte Terminologie ist, da sie tatsächlich keine zulässigen Zustände sind , da Zustände per Definition zum Hilbert-Raum gehören und normalisierbar sein müssen. Ihre richtige Behandlung erfordert die Vorstellung manipulierter Hilbert-Räume .

Jedoch,$\delta(x-x')$ist einfach die Bedingung für die "Basis"$\lvert x\rangle$orthonormal sein, dh Gl. (2) wird eher auferlegt als von irgendetwas abgeleitet. Beachten Sie, dass diese Form des "inneren Produkts" impliziert

$$1 = \int \lvert x\rangle\langle x\rvert\mathrm{d}x,$$ also die $\lvert x\rangle$lösen die Identität in einer Verallgemeinerung auf, wie es eine übliche abzählbare orthonomische Basis tut $1 = \sum_n \lvert\psi_n\rangle\langle\psi_n\rvert$. Es ist also tatsächlich Vollständigkeit und Orthonormalität, die Gl. (2).

Wenn Sie Sakurais moderne Quantenmechanik als Grundlage für diese Antwort verwenden, kann es hilfreich sein, sie zuerst in einem diskreten System zu betrachten, bevor Sie dies in einem kontinuierlichen System betrachten:

Für Eigenzustände einiger Operatoren gilt:$\hat{A}$,$\mid a'\rangle$Und$\mid a''\rangle$, so dass$\hat{A}\mid a'\rangle = a'\mid a'\rangle$Und$\hat{A}\mid a''\rangle = a''\mid a'\rangle$gibt die Gleichung$\left(a' - a''\right)\left\langle a''\mid a'\right\rangle = 0$

Wir wollen also, dass die Eigenbasis orthonormal ist, dh$\left\langle a'\mid a'\right\rangle = 1$Und$\left\langle a''\mid a'\right\rangle = 0$für$a'' \neq a'$. Hilfreicherweise ist dies auch die Definition des Kronecker-Deltas:$\left\langle a''\mid a'\right\rangle = \delta_{a', a''}$

Unter der Annahme, dass der gesamte Raum von dieser Eigenbasis aufgespannt wird, haben wir nun eine vollständige Basis.

Wenn Sie dies nun auf ein kontinuierliches System erweitern, ist die Dirac-Delta-Funktion die kontinuierliche Version des Kronecker-Deltas - siehe zB diese Frage , daher ist es völlig logisch und intuitiv, das Kronecker-Delta in diskreten Systemen durch die Dirac-Delta-Funktion zu ersetzen. Ja, die Verwendung des Kronecker-Deltas ist in erster Linie wirklich nur eine Konvention, die die Vollständigkeit der Zustände ergibt (wie Sie gesagt haben), aber wenn es nicht kaputt ist ...

Nun, in einem kontinuierlichen System haben wir, dass die Identität ist$1 = \int dx\, \mid x\rangle\langle x\mid$, geben$\left\langle x'\mid x''\right\rangle = \int dx\, \left\langle x'\mid x\rangle\langle x\mid x''\right\rangle$und so passt die Dirac-Delta-Funktion dazu.