Sind Eigenfunktionen immer normiert und orthogonal?

Ich bin auf diesen einfachen Beweis gestoßen:

Wir zeigen, dass hermitesche Operatoren reelle Eigenwerte haben. Die Definition eines hermiteschen Operators ist

(1) ⟨ ϕ ich | A ^ | ϕ ⟩ = ⟨ ϕ ich | A ^ | ϕ ⟩ ∗

Dann wenn | ψ ⟩ ist ein Eigenvektor von A ^ , wir haben

(2) A ^ | ψ ⟩ = λ | ψ ⟩

und deshalb

(3) ⟨ ψ | A ^ | ψ ⟩ = λ .

Wenn A ^ hermitesch ist, können wir (1) so anwenden, dass

⟨ ψ | A ^ | ψ ⟩ = ⟨ ψ | A ^ | ψ ⟩ ∗
λ = λ ∗ .

Was ich nicht verstehe, ist der Schritt von (2) nach (3). Mir scheint, das wäre nur wahr, wenn ψ ist normiert ( ⟨ ψ | ψ ⟩ = ∫ ψ ∗ ψ D τ = 1 ).

Stimmt es im Allgemeinen, dass Eigenvektoren/Eigenfunktionen von Operatoren normiert und orthogonal sind?

@JohnRennie Die doppelte Frage fragt nach den allgemeinen Konsequenzen von Observablen, die hermitischen Operatoren entsprechen. Diese Frage scheint eine geringfügige technische Klärung der Eigenvektornormalisierung zu erfordern.
@SeanBone-Eigenvektoren werden lediglich als Nicht-Null- Vektoren definiert | ψ ⟩ so dass A | ψ ⟩ = λ | ψ ⟩ . Es gibt keine Einschränkung für die Normalisierung, und Sie können dies leicht überprüfen, wenn | ψ ⟩ ein Eigenvektor ist, dann ist er es auch C | ψ ⟩ für alle Nicht-Null C . Wenn Sie also von (2) nach (3) gehen, gibt es eine implizite Annahme, wie Sie vermuten. Üblicherweise nehmen wir Zustände im QM als Einheitsnorm an, aber nicht immer.
Wenn die Wellenfunktion nicht normalisiert ist, sind darauf basierende Vorhersagen falsch. Es gibt keine theoretische Grundlage für die Normalisierung.

Antworten (2)

Die Eigenschaft der Orthogonalität kann immer auferlegt werden, ist jedoch in dem von Ihnen zitierten Auszug überhaupt nicht erforderlich.

Die Normierung der Eigenvektoren kann immer sichergestellt werden (unabhängig davon, ob der Operator hermitesch ist oder nicht), da if A v = λ v , dann ein beliebiges Vielfaches w = a v dieses Vektors gehorchen wird

A w = A a v = a A v = a λ v = λ w .
Daher können Sie bei einem gegebenen Eigenvektor eines beliebigen Operators immer (kostenlos) davon ausgehen, dass er auf Eins normalisiert wurde.

Dies ist jedoch auch nicht für die von Ihnen zitierten Manipulationen erforderlich: Wenn Sie diese Normalisierung entfernen, wird Ihre Gleichung ( 3 ) wird

(3') ⟨ ψ | A ^ | ψ ⟩ = λ ⟨ ψ | ψ ⟩ ,
in welchem λ ⟨ ψ | ψ ⟩ ist (durch die Eigenschaften des Skalarprodukts) eine reelle und positive Zahl. Der Rest der Manipulationen bleibt unberührt: Sie können
λ ⟨ ψ | ψ ⟩ = λ ∗ ⟨ ψ | ψ ⟩
und alles, was Sie tun müssen, ist durch zu teilen ⟨ ψ | ψ ⟩ .

Man kann immer orthonormal arbeiten. Standardmäßig tun wir dies, wenn wir der Einfachheit halber mit der Quantenmechanik arbeiten.

Beachten Sie, dass wenn A ^ | ψ ⟩ = λ | ψ ⟩ , A ^ † | ϕ ⟩ = μ | ϕ ⟩ Dann ⟨ ϕ | A ^ | ψ ⟩ ist beiden gleich λ ⟨ ϕ | ψ ⟩ Und μ ∗ ⟨ ϕ | ψ ⟩ , also sind die Vektoren entweder orthogonal oder λ = μ ∗ . Wir können in diesem speziellen Fall sogar Orthogonalität mit einem Basiswechsel sicherstellen, der als Gram-Schmidt-Prozess bezeichnet wird . Schließlich können wir Eigenvektoren neu skalieren, um eine Einheitsnorm zu haben. Dies ermöglicht so bequeme Ergebnisse wie Ausweis = ∑ ich | ich ⟩ ⟨ ich | so dass | Ψ ⟩ = ∑ ich ⟨ ich | Ψ ⟩ | ich ⟩ .

Sind Eigenfunktionen immer normiert und orthogonal?
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