BHs und Kets mit kontinuierlichem Spektrum

Weiß jemand, warum in der Quantenmechanik die zweite Aussage immer wahr ist?

"Wenn das Spektrum eines Operators A einen durchgehenden Teil hat, assoziieren wir einen BH ⟨ A | und ein ket | A ⟩ zu jedem Element A des kontinuierlichen Spektrums von A . Offensichtlich die BHs ⟨ A | und Keten | A ⟩ sind nicht im Hilbert-Raum ."

Hilberträume in QM gehören dazu l 2 , der Raum quadratisch integrierbarer Funktionen. Es hat eine abzählbare unendliche Anzahl von Dimensionen. Wenn das Spektrum kontinuierlich ist, dann ist auch die Dimension des Raums kontinuierlich, daher befinden sich diese Vektoren oder Bras und Kets nicht mehr im Hilbert-Raum. Sie können den Hilbert-Raum jedoch verallgemeinern, um sie einzuschließen, siehe en.wikipedia.org/wiki/Rigged_Hilbert_space
Denn wenn Kets oder Bras im Hilbert-Raum wären, wären die entsprechenden Punkte per Definition im diskreten oder Restspektrum, nicht im kontinuierlichen. Es gibt keine "kontinuierliche Dimension", aber der ursprüngliche Hilbert-Raum kann erweitert werden, um Elemente einzuschließen, die als "Eigenvektoren" für ein kontinuierliches Spektrum interpretiert werden können. Dieser erweiterte ("manipulierte") Raum ist jedoch so abzählbar dimensional wie das Original. Ein Beispiel wird verlängert L 2 Zu H − 1 einschließen δ Funktionen, die "Kets" des Positionsoperators sind.

Antworten (1)

Denn per Definition sind die Eigenwerte eines Operators A sind Teil des Punktspektrums σ P ( A ) . Für selbstadjungierte Operatoren ist das kontinuierliche Spektrum das Komplement σ C ( A ) = σ ( A ) ∖ σ P ( A ) .

Also wenn, in irgendeiner Weise A F = A F für einige A ∈ σ C ( A ) , F kann kein Eigenvektor sein . Aus diesem Grund kann es nicht zum Hilbertraum gehören.

Genau genommen die Identität A F = A F Wo A ∈ σ C ( A ) hat einen anderen Sinn als den Standardsinn, einen Verteilungssinn, wenn der Hilbert-Raum ist L 2 ( R , D N X ) .

Es ist erwähnenswert, dass das Punktspektrum trotz seines Namens eine kontinuierliche Menge sein kann R zum Beispiel. In diesem Fall wäre der Hilbertraum jedoch nicht trennbar. Ein berühmter Satz von Stone und von Neumann beweist, dass der Hilbertraum eines Teilchens (irduzible Darstellung der Weylgruppe) unbedingt trennbar sein muss. Aus diesem Grund sind Hilberträume nichtrelativistischer Elementarsysteme in der QM separabel und Punktspektren allenfalls abzählbar.

Zu Ihrem letzten Satz "Aus diesem Grund sind Hilbert-Räume nichtrelativistischer Elementarsysteme in der QM separabel und Punktspektren höchstens abzählbar." Sind das Punktspektren von selbstadjungierten Operatoren? Ist auch σ ( A ) oben ( σ C = σ ∖ σ P ) definiert als σ := { λ |   A − λ ICH    nicht umkehrbar } ?
In Bezug auf Ihre erste Frage gilt meine Aussage für jeden normalen Operator, wie selbstadjungiert, anti selbstadjungiert, unitär ... In Bezug auf die zweite, da selbstadjungierte Operatoren geschlossen sind, A ∉ σ ( A ) dann und nur dann, wenn A − A ICH hat ein durch den gesamten Hilbert-Raum gegebenes Bild, ist invertierbar und der inverse Operator ist beschränkt.
Okay danke. Wenn Sie die Möglichkeit haben, sehen Sie sich bitte MSE my Spectral Theory Post an .
@ValterMoretti Schöne Antwort. Ich möchte mein Verständnis für Ihre Antwort auf diese Frage bestätigen. Soweit ich weiß, wird der Zustand eines Systems durch einen Vektor dargestellt | ψ ⟩ in einem Hilbertraum. Die Art des Hilbert-Raums hängt von der betreffenden Observablen ab. Für Orts- und Impulsobservable können wir also die Operatoren betrachten, die auf den Hilbert-Raum wirken L 2 ( R ) , aber für Spin 1 2 betrachten wir den von Vektoren aufgespannten Hilbertraum
[ 1 0 ]
Und
[ 0 1 ]
Für den endlichdimensionalen Hilbert-Raum gilt die Trennbarkeit jedoch eindeutig, sodass das Ergebnis weiterhin gilt. Allgemeiner gesagt, nach Stone und von Neumann, auf die Sie sich bezogen haben, ist der fragliche Hilbert-Raum für jeden Operator, der einer Observablen entspricht, trennbar, daher ist das Punktspektrum für jede Observable höchstens zählbar. Ist mein Verständnis richtig? Vielen Dank für Ihre Zeit.
Ja, das ist er: Für Orbitalräume ist der Hilbert-Raum im Wesentlichen aufgrund des SvN-Theorems trennbar. Für endlichdimensionale Räume (Spin) ist die Trennbarkeit automatisch; bei zusammengesetzten Systemen ist die Trennbarkeit gewährleistet, da das Tensorprodukt trennbarer Räume ebenfalls trennbar ist.
BHs und Kets mit kontinuierlichem Spektrum
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