Wenn wir die Wellenfunktion „normalisieren“, setzen wir einen geeigneten Koeffizienten ein, damit die Wellenfunktion als Wahrscheinlichkeitsverteilung fungieren kann. Als ich jedoch die Eigenfunktionen des Impulsoperators betrachtete (obwohl das Gleiche für die Eigenfunktionen des Ortsoperators gilt), sind sie in diesem Sinne nicht normierbar.
Bei ihrer „Normierung“ verwenden wir eher das Dirac-Delta als das Kronecker-Delta:
Das innere Produkt eines Eizustands mit sich selbst ist also eigentlich unendlich und integriert sich nur zur Einheit.
Ich hatte gehofft, jemand könnte die Motivation und Gültigkeit der Normalisierung in diesem Sinne erläutern?
Außerdem habe ich gesehen, dass die kanonische „Normalisierung“ der Legendre-Polynome eine Einstellung beinhaltet , allerdings werden die Polynome dann nicht im Sinne des Skalarprodukts auf den Funktionenraum normiert. Dies scheint also eine andere Verwendung des Begriffs „Normalisierung“ zu sein.
Normalisiert kann ein mehrdeutiges Wort sein, aber die Bedeutung, die es in der Quantenmechanik zum größten Teil erfassen lässt, ist, dass die Sätze von Parseval und Plancherel gelten sollten, sodass das innere Produkt zwischen Quantenzuständen in gleich der entsprechenden Definition des Skalarprodukts zwischen den entsprechenden Überlagerungs-/Gewichtsfunktionen, wenn diese Zustände in ein neues Koordinatensystem mit den neuen Basiszuständen aufgelöst werden. Das heißt, unsere Transformationen zwischen Koordinatensystemen müssen alle einheitlich sein, damit Berechnungen von inneren Produkten, Wahrscheinlichkeiten und dergleichen nahtlos übertragen werden.
Wenn die neuen Basiszustände ein nicht diskreter Satz sind, reduziert sich diese Definition auf die von Ihnen zitierte Gleichung. Es wird sich auch auf das Ihnen vertrautere reduzieren, wenn Sie es auf einen diskreten Satz von Basiszuständen anwenden.
Außerdem haben unterschiedliche Probleme unterschiedliche Definitionsdomänen und unterschiedliche Zustandsräume. Die verallgemeinerten Legendre-Funktionen tauchen sowohl in 2D-Problemen als auch als Teil der 3D-Kugelfunktionen auf. Der Begriff der Normalisierung variiert also je nach Problemdomäne.
Schließlich kann „normalisiert“ auch „nach einem Standardrezept skaliert“ bedeuten. Daher die besondere Definition der Normalisierung der Legendre-Funktion, die Sie zitieren.
Es gibt keine universelle Definition, und Sie müssen jeden Autor sorgfältig prüfen, obwohl Sie in der Quantenmechanik keine andere Verwendung von „normalisiert“ finden werden als die erste, die ich innerhalb der Quantenmechanik gegeben habe.
Weitere Hintergründe
Das Schwierige an den Positions- und Impulsobservablen ist, dass sie kontinuierliche Spektren haben. Ihre Eigenfunktionen sind ebenfalls nicht normalisierbar, da sie keine haben Integral. Die beiden – kontinuierliches Spektrum und Nichtnormalisierbarkeit – gehen Hand in Hand, wie in QMechanics Zusammenfassung der Gründe für „Diskretion“ in einigen Bereichen der Quantenmechanik erörtert .
Das bedeutet, dass ihre Eigenfunktionen NICHT zum üblichen separierbaren Hilbert-Raum gehören, der in der Quantenmechanik diskutiert wird
Lassen Sie das ein wenig sacken: Eigenfunktionen der Orts- und Impulsoperatoren existieren einfach nicht in unserem üblichen Quantenzustandsraum. Diese Tatsache wird oft nicht genug betont. In der Tat wird es oft beschönigt, das mysteriöse Dirac-Delta wird in der betreffenden Vorlesung ausgepeitscht, und Studenten, die dieses seltsame Biest befragen, fühlen sich gebührend unzulänglich, weil sie diese Magie nicht sofort verstehen können.
Etwas höchst Nichttriviales geht hier vor sich, und zwar müssen wir einen ganz neuen Rahmen aufbauen – den des Begriffs eines manipulierten Hilbert-Raums – um überhaupt über solche Eigenfunktionen zu sprechen und die Fähigkeit zu erreichen, einen beliebigen Quantenzustand darin aufzubauen aus den Eigenvektoren eines nicht kompakten Operators, die nun im manipulierten Hilbertraum existieren. Ich gebe hier eine detaillierte Diskussion des manipulierten Hilbert-Raums .
Aber wenn wir die Eigenfunktionsentwicklung im manipulierten Hilbert-Raum aufbauen, kann die Superposition nicht diskret sein und wir müssen jetzt ein Integral verwenden. Die Beziehung zwischen diesem Integral und einer Auflösung eines Quantenzustands in einen zählbar unendlichen Satz von Eigenvektoren ist der Beziehung zwischen der Fourier-Transformation und der Fourier-Reihe sehr ähnlich.
Da wir jetzt mit einer erweiterten Definition des Quantenzustandsraums mit ganzzahligen statt Summenüberlagerungen arbeiten, ist es nicht verwunderlich, dass auch der Begriff der Normalisierung erweitert werden muss. Die Gleichung, die Sie zitieren, ist die Erweiterung, die die Transformation in Positions- / Impulskoordinaten einheitlich hält.
JG
QMechaniker