Über die Postulate der Quantenmechanik und Selbstadjungiertheit

1. Wenn Sie verschiedene Hilbert-Räume haben, können Sie nicht sagen, dass es sich um denselben Operator handelt, da Operatoren im Hilbert-Raum definiert sind . Der Impulsoperator ist für viele Systeme ein heikles Thema, und Strenge erfordert die Diskussion von Konzepten wie manipulierten Hilbert-Räumen . Eine nette Einführungsdiskussion dazu ist "Mathematische Überraschungen und Diracs Formalismus in der Quantenmechanik" von Francois Gieres .

2. Ja. Der Spektralsatz gilt für selbstadjungierte Operatoren, nicht für hermitische . Diese beiden Begriffe stimmen nur auf endlichdimensionalen Hilbert-Räumen überein, aber Physiker sind (leider) oft schlampig, weil sie nicht wollen, dass die einführende Quantenmechanik zu einer vollwertigen Funktionsanalyse wird.

3. Der Hamiltonoperator muss selbstadjungiert sein, da Energie eine Observable ist, ja. Es ist möglich, die Forderung nach Selbstadjungiertheit zu lockern und nur einen PT-symmetrischen Hamiltonoperator zu fordern, und man kann immer noch eine vernünftige Quantentheorie erhalten, aber das ist ziemlich exotisch. In allen üblichen Zusammenhängen ist der Hamiltonoperator selbstadjungiert und beobachtbar. Da es selbstadjungiert ist, überspannen seine Eigenvektoren tatsächlich den gesamten Raum. Aber jeder Vektor darf ein Zustand des Systems sein, und das nur so$p$pendelt nicht mit$H$bedeutet nicht Eigenzustände von$p$sind unzulässig - wie könnten sie angesichts dessen, wenn Sie messen$p$, werden Sie das System per Annahme in einem seiner Eigenzustände finden ? Die Nicht-Kommutativität bedeutet nur, dass Sie ein System niemals gleichzeitig in einem Eigenzustand beider nicht-kommutierender Operatoren haben können - wenn es der Eigenzustand von einem von ihnen ist, wird es eine lineare Kombination von Eigenzuständen des anderen sein (da sie a bilden Basis!)-

Ok, hier gibt es viele Punkte.

1)

Zunächst einmal ist ein Operator in Hilbert-Räumen nicht nur durch seine Wirkung (zB die Ableitungsoperation für den Impuls) definiert, sondern auch durch den sogenannten Definitionsbereich, dh den Teilraum der Vektoren des Hilbert-Raums, wo er kann Gesetz. Unbeschränkte Operatoren sind nicht für jeden Vektor des Hilbert-Raums definiert, sondern nur auf einer dichten Teilmenge, die als Definitionsbereich des Operators bezeichnet wird. Bei einem gegebenen Operator (dh bei gegebener Aktion und Definitionsbereich) kann man fragen, ob der Operator bezüglich dieses Bereichs abgeschlossen, selbstadjungiert usw. ist. Angenommen, Sie haben einen abschließbaren, dicht definierten symmetrischen Operator$A$. Dann kann es null, eine oder unendliche selbstadjungierte Erweiterungen haben. Der Ableitungsoperator – dicht definiert auf den stetig unendlich differenzierbaren Funktionen – hat nur eine selbstadjungierte Erweiterung in$L^2(\mathbb{R})$; der auf definierte Ableitungsoperator$\{\psi, \psi\in AC(0,1), \psi'\in L^2([0,1]), \psi(0)=0=\psi(1)\}$ hat keine selbstadjungierten Erweiterungen in$L^2([0,1])$, aber wenn es auf definiert ist$\{\psi, \psi\in AC(0,1), \psi'\in L^2([0,1]), \psi(0)=\alpha\psi(1)\}$, mit$\lvert\alpha\rvert=1$dann ist es selbstadjungiert .

Das Problem ist also nicht, dass Sie die Form eines Operators ändern müssen, wenn Sie ihn in verschiedenen Räumen verwenden, sondern Sie müssen Operatoren einfach als Ganzes betrachten, dh als eine Aktion und einen entsprechenden Definitionsbereich. Sobald Sie das getan haben, können Sie fragen, ob es geschlossen, symmetrisch, selbstadjungiert, im Wesentlichen selbstadjungiert usw. ist.

2)

Die einzigen selbstadjungierten Operatoren, bei denen die entsprechenden Eigenvektoren eine Basis des Hilbert-Raums bilden, sind diejenigen, die kompakt sind oder eine kompakte Auflösung aufweisen (Selbstadjungiertheit und Einsiedlerei sind für unbegrenzte Operatoren nicht dasselbe). Und die korrekteste Form der anderen Behauptung zur Kommutierung ist, dass zwei kommutierende selbstadjungierte Operatoren eine gemeinsame Spektralfamilie von Projektionen teilen (ich kann in diesem Punkt mit Ihrem Wissensstand nicht genauer sein). Nehmen wir an, wenn sie beide kompakt oder mit kompakter Auflösung sind, dann ist die Behauptung, die Sie gemacht haben, wahr.

3)

Das Postulat sollte lauten: „Die Dynamik des Systems wird durch eine einheitliche Gruppe von Transformationen erzeugt“. Diese einheitlichen Gruppen stehen in einer Eins-zu-Eins-Entsprechung mit selbstadjungierten Operatoren (Theorem von Stone). Letztere wirken als Generatoren. Also muss der Hamiltonoperator – da er genau das Objekt ist, das als Erzeuger der Dynamik definiert ist – in der Quantenmechanik selbstadjungiert sein.

Bearbeiten:

Eine kleine Ergänzung zu Observablen (Ihr zweites Postulat). Es ist schwierig, quantenmechanische Observable mathematisch genau zu definieren. Ein schöner und eleganter mathematischer Weg besteht darin, Observablen als a zu definieren$C^*$-Algebra, dh eine Algebra selbstadjungierter beschränkter Operatoren auf einem Hilbert-Raum, und formulieren Axiome der Quantenmechanik ausgehend von Observablen und nicht von Hilbert-Räumen selbst. Ein Nachteil ist, dass unbeschränkte Operatoren bei dieser Betrachtungsweise nicht als Observablen enthalten sind, während viele Größen, die in der Physik als Observablen gelten, unbeschränkte Operatoren sind: Energie und Impuls vor allem. Ich nehme an, dass eine sehr minimale Anforderung für eine physikalische Observable in der Quantenmechanik darin besteht, dass es sich um einen symmetrischen Operator auf einem Hilbert-Raum handelt, sodass sein numerischer Bereich eine Teilmenge der reellen Linie ist (dh sein Erwartungswert ist immer eine reelle Zahl).

Die Quantenmechanik ist eine physikalische Theorie. Für ein gegebenes physikalisches System (Aufbau und mögliche Zustände) können Sie einen Hilbert-Raum und einige lineare Operatoren festlegen. Einige lineare Operatoren sind unitär (z. B. Zeitentwicklung, um einen Zustand zu einem Zeitpunkt in einen Zustand zu einem anderen Zeitpunkt zu überführen), einige Operatoren sind selbstadjungiert (z. B. für eine Observable).

Ein linearer Operator ist technisch gesehen eine lineare Abbildung von (einem Unterraum) des Hilbert-Raums zu sich selbst. Wenn Sie also einen anderen Hilbert-Raum haben, haben Sie technisch per Definition unterschiedliche Operatoren.

Für eine Observable möchten Sie im Allgemeinen auch, dass die Eigenfunktionen vollständig sind.

Bei zwei pendelnden Observablen können die Eigenfunktionen der einen Eigenfunktionen der anderen sein oder nicht, aber es gibt gemeinsame Eigenfunktionen, und zwar genügend davon.

Die Zeitabhängigkeit ist durch die Schrödinger-Gleichung gegeben und für stationäre Zustände ist Hf = Ef, wobei f die Wellenfunktion, H der Hamilton-Operator und E die Energie des Systems ist.

Manchmal möchten Sie mehr von einem Operator als nur, dass er selbstadjungiert ist, zum Beispiel möchten Sie vielleicht, dass er einen endlichen Erwartungswert für jeden Zustand hat, weil Sie manchmal den Erwartungswert für sich selbst als eine Art Ensemble-Beobachtbarkeit betrachten.

Haben die Eigenfunktionen des Hamiltonoperators alle Informationen über das System?

Die Eigenfunktionen des Hamilton-Operators sind vollständig, und Sie wissen, wie sich jede entwickelt (weil Sie die Energie kennen), also können Sie jederzeit herausfinden, wie sich jeder beschränkte Operator verhält. Das ist sehr gut. (Für einen unbegrenzten Operator müssten Sie überprüfen, ob Ihr Zustand in der Domäne liegt.)

Wenn die Eigenfunktionen nicht die Eigenfunktionen von ... sagen wir p sind, was bedeutet, dass p nicht mit H pendelt, können die Eigenfunktionen von p nicht einer der möglichen Zustände des Systems sein?

Wenn eine Observable nicht mit dem Hamilton-Operator pendelt, haben sie keine gemeinsamen Eigenfunktionen, aber das ist völlig in Ordnung. Das bedeutet nur, dass es nach einer Messung des beobachtbaren Impulses kein Energie-Eigenzustand sein wird, auch wenn es vorher einer war. Aber die Energie-Eigenfunktionen sind immer noch vollständig, sodass Sie immer noch wissen, wie sich diese Impuls-Eigenfunktion entwickelt.

Was zu den Dingen führt, die ich in Ihrem Beitrag nicht gesehen habe, eine einzige Sache über Messung oder Projektion.