Was stellen die Quantenfelder mathematisch dar?

Eine kleine Einschränkung: Die Quantenfelder sind eine Möglichkeit, die Generatoren der Algebra der Observablen zu organisieren. Sie sind möglicherweise selbst keine Observables. Die tatsächlichen Observables sind Dinge wie$\phi(f)$, statt$\phi$.

Zu deiner Hauptfrage: Du hast Recht. Zustände sind Einheitsvektoren im Hilbert-Raum, auf denen die Observablen wirken. Sie sind nicht lokal im Raum. Tatsächlich kodieren sie globale Informationen, wie Gesamtladung und Verstrickungen zwischen weit voneinander entfernten Dingen. Betrachten Sie den Vakuumzustand: Er weiß, dass es nirgendwo etwas gibt.

Wie lässt sich dieses Bild also mit der Quantenmechanik in Einklang bringen? Die Antwort ist, dass in der Quantenmechanik die Raumzeit einfach die 1-dimensionale Zeitmannigfaltigkeit ist. Was den Formalismus betrifft, so werden die Observablen nicht durch eine Raummannigfaltigkeit parametrisiert. (Denken Sie an die Quantenmechanik des internen Spins eines Elektrons. Der beobachtbare Spin ist nur ein Auf oder Ab; er bezieht sich überhaupt nicht auf die Position im Raum.)

Zunächst einmal möchte ich darauf hinweisen, dass die meisten komplizierten mathematischen Schwierigkeiten, die in die Quantenfeldtheorie "in der Praxis" einfließen, wirklich mehr damit zu tun haben, mit Feldern umzugehen, die miteinander interagieren und daher nicht Es hat wirklich nicht so viel damit zu tun, wie und worum Sie meiner Meinung nach fragen, nämlich den konzeptionellen Kern dessen, was ein Quantenfeld ist, kennenzulernen. Und das ist zum Glück viel einfacher.

Ein Quantenfeld ist die quantenmechanische Version eines klassischen Feldes, bei dem es sich um ein System handelt, dem wir eine bestimmte Größe zuweisen – in der Grundlagenphysik können dies elektrische und magnetische Feldvektoren sein, aber in höherwertigen Anwendungen könnten dies beispielsweise die sein Schallwellenfeld innerhalb eines festen Mediums, wobei der Wert die relative Kompression des Materials darstellt - zu jedem Punkt im Raum. Das heißt, ein klassisches Feld ist nur eine Funktion

$$\phi(P)$$

eines Punktes$P$im Weltraum. In Bezug auf Koordinaten würden wir dies im dreidimensionalen Raum als Funktion von drei Argumenten schreiben:

$$\phi(x, y, z)$$

wenn wir kartesische Koordinaten für jeden Punkt verwenden, also das$P = (x, y, z)$, Zum Beispiel. Der von dieser Funktion zurückgegebene Wert ist der Wert der Feldgröße an diesem bestimmten Punkt, z. B. ein elektrisches Feld von 5 V / m (der Einfachheit halber wird das vektorielle Zeug ignoriert) oder ein Druckanstieg von 5 Pa (wiederum technischere ignorieren Komplexität).

Was passiert also in der Quantenmechanik? Nun, in der Quantenmechanik müssen wir, genau wie wenn wir eine Quantentheorie eines bewegten Teilchens entwickeln, also eines mit Ort und Geschwindigkeit, diese Größe in einen Quantenoperator umwandeln: Wir wissen noch nicht welcher, aber wir erklären es erst einmal Es. Nun der Rückgabewert$\phi(P)$hat nicht mehr den Typ "real", sondern eine Art Operatortyp und bekommt daher einen Hut:

$$\hat{\phi}(x, y, z)$$

und tatsächlich haben wir ein Feld von Operatoren , einen an jedem Punkt. Jeder Operator sollte dann auf einem Quantenvektor operieren$|\psi\rangle$, das das Wissen eines Agenten über das gesamte Feld repräsentiert, so dass daraus eine Feldwert-Wellenfunktion abgeleitet werden kann

$$[\psi(x, y, z)](\phi)$$

was eine Wahrscheinlichkeitsverteilung ergibt, die beschreibt, was über den Feldwert bekannt ist$\phi$am Punkt$(x, y, z)$. (Beachten Sie, dass dies eine "Curry-Funktion" ist; ich mag diese, weil sie sie in eine Form umwandeln, die es sauberer macht, was vor sich geht - wir erhalten eine Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (pdf) über Feldwerte$\phi$konkret auf den Punkt$(x, y, z)$.).

Das ist also Teil 1:$\hat{\phi}(x, y, z)$Hier ist, was "Observables" für das Quantenfeld ausmacht. Aber das gibt uns jetzt nicht wirklich viel Einblick in den nächsten Teil der Frage, nämlich wie wir den Hilbert-Raum-Teil bauen. Ich möchte jedoch zuerst eine Anmerkung machen: Während wir das tun werden, zählen technisch wirklich nur die Operatoren darüber und alles kann in Bezug auf sie getan werden, der Hilbert-Raum ist nur mathematischer Flaum, um die Dinge einfacher zu machen arbeiten mit. Man könnte also sagen „wir sind hier fertig“, aber wir schaffen es trotzdem.

Um zu sehen, wie es geht, sollten Sie beachten, dass Sie sich das Feld in gewisser Weise so vorstellen können, als wäre es ein gewöhnliches Mehrteilchen-Quantensystem mit einer unzähligen Sammlung separater "Teilchen" (dies sind NICHT die üblichen Teilchen wie Elektronen, Photonen usw., aber etwas mathematischer), die jeweils einem anderen Raumzeitpunkt entsprechen$(x, y, z)$und dessen "Position" der Feldwert ist$\phi(x, y, z)$. Daher haben Sie, genau wie beispielsweise für 2 Teilchen, eine Zwei-Teilchen-Wellenfunktion

$$\psi(\mathbf{r}_1, \mathbf{r}_2)$$

mit den beiden Positionskomponenten haben Sie hier a$\psi$das nimmt unzählige Positionskomponenten, die alle durch Koordinaten indiziert sind$(x, y, z)$oder tatsächlich eine Wellenfunktion, die eine Funktion annimmt , die eine klassische Feldkonfiguration ist$\phi(x, y, z)$. Eine solche „Wellenfunktion“ wird daher auch als Wellenfunktion bezeichnet und geschrieben

$$\psi[\phi]$$

für dieses Quantenfeld. Dann die Aktion des Feldoperators$\hat{\phi}(x, y, z)$auf so einem$\psi$wird von gegeben

$$[\hat{\phi}(x, y, z)\psi][\phi] = \phi(x, y, z) \cdot \psi[\phi]$$

genauso wie

$$[\hat{\mathbf{r}}_1 \psi](\mathbf{r}_1, \mathbf{r}_2) = \mathbf{r}_1 \cdot \psi(\mathbf{r}_1, \mathbf{r}_2)$$

. Daher ist der Hilbert-Raum geeignet definierte Äquivalenzklassen dieser Wellenfunktionale (das ganze Zeug "bis zu einem Satz von Maß Null"), und Zustände sind die zugehörigen Strahlen.

Kurz gesagt: Ein Quantenfeld stellt eine Feldgröße dar, die quantenmechanisch unscharf ist.

Gemäß der oben verlinkten Antwort denke ich, dass Quantenfelder, dh operatorwertige Verteilungen auf der Raumzeit-Mannigfaltigkeit, die Objekte sein sollen, die eine Observable darstellen, im Vergleich zur Quantentheorie, in der Observable durch selbstadjungierte Operatoren dargestellt werden.

Dies ist ein Missverständnis. Quantenfelder in der Teilchenphysik, sie werden auch in anderen Disziplinen verwendet, sind eine Art "Koordinatensystem", auf dem Wechselwirkungen mit Hilfe von Feynman-Diagrammen abgebildet werden können, um zu berechenbaren Größen als Querschnitte und Zerfälle zu gelangen, die mit Messungen überprüft werden können. Für die Teilchen im Standardmodell der Teilchenphysik werden mit den quantenmechanischen ebenen Wellenwellenfunktionen der entsprechenden Freiteilchengleichungen Felder definiert, auf denen differentielle Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren wirken. Die Feynman-Diagramme sind eine Darstellung der Integrale, die zur Berechnung vieler Körperwechselwirkungen erforderlich sind.

Die Felder stellen keine Observablen dar, es sind die Wechselwirkungen, die beobachtbare Größen vorhersagen können.

Aber ich bin jetzt verwirrt: In der Quantentheorie haben die Wellenfunktionen, die die Quantenzustände darstellen, einen "lokalen Inhalt" (da sie auf einem Raum definierte Karten sind),

Die Wellenfunktionen, entweder einfach oder mit QFT, sind nicht messbar. Der$Ψ^*Ψ$In die Feynman-Diagramme treten die messbaren Größen ein.

während Observables dies nicht tun.

Die einzigen von der Quantenmechanik vorhergesagten Observablen, entweder einfach oder als QFT, sind mit Wahrscheinlichkeitsverteilungen verbunden. Die Quantenmechanik sagt Wahrscheinlichkeiten durch die Mathematik der Wellenfunktionen voraus.

Alle QFTs gehorchen den Postulaten der Quantenmechanik.