Zeitentwicklung von 2-Teilchen-Zuständen in der QFT im Heisenberg-Bild

Ihre Frage scheint nichts Besonderes mit der Quantenfeldtheorie zu tun zu haben, da dasselbe in der gewöhnlichen Quantenmechanik für jeden Zustand passieren kann, den Sie durch den Eigenwert einer zeitabhängigen Observablen gekennzeichnet haben, und insbesondere für zeitabhängige Hamilton-Operatoren.

Angenommen, Sie haben eine zeitabhängige Observable$A(t)$und ein Eigenzustand$\lvert a_1,t_1\rangle$, die den Eigenwert hat$a_1$zum Zeitpunkt$t_1$. Sie fragen sich jetzt, wie es sein kann, dass wir mit einer Wahrscheinlichkeit feststellen, dass dieser Zustand derselbe ist wie$\lvert a_2,t_2\rangle$für$a_1\neq a_2$, aber das ist durchaus möglich. Lassen Sie z.$a_1,a_2$Sei$+1/2,-1/2$und lass$A(t_1)$Sei$\sigma_z$Und$A(t_2)$Sei$-\sigma_z$, dh$A$misst den Spin in z-Richtung zu beiden Zeiten, aber das Vorzeichen wird zwischen den beiden Zuständen umgedreht, und wir haben$\lvert a_1,t_1\rangle = \lvert a_2,t_2\rangle$.

Nun, für den Fall einer interagierenden QFT, nach der Sie fragen, sollten Sie sich zunächst überlegen, wie Sie bildlos aufschreiben können, wonach Sie fragen: Mit dem Zeitentwicklungsoperator "$U(-\infty,\infty)$“ und die Staaten$\lvert p_1,p_2\rangle$Und$\lvert k_1,k_2,\rangle$, die Sie berechnen möchten

$$\langle p_1,p_2\vert U(-\infty,\infty)\vert k_1,k_2\rangle$$ und da die Zeitentwicklung aus einem zeitabhängigen Hamilton-Operator berechnet wird, haben Sie keine Garantie dafür, dass einer der momentanen Eigenzustände vorliegt $\lvert p_1,p_2\rangle$bleibt während der gesamten Evolution ein Eigenzustand. Tatsächlich kann dies nicht passieren, wenn für eine Amplitude ungleich Null vorhanden ist $k_1\neq p_1$oder $k_2\neq p_2$, aber daran ist in beiden Bildern nichts auszusetzen .

Lassen Sie mich abschließend anmerken, dass die Existenz der Bilder in QFT zunächst umstritten ist, da der Satz von Haag die strenge Existenz einer einheitlichen Äquivalenz zwischen den Feldern, die auf die asymptotisch freien Hilbert-Räume wirken, und den interagierenden Hilbert-Räumen unmöglich macht.

So funktioniert es eigentlich nicht. Wenn Sie einen bestimmten „In“-Zustand für ein Streuereignis vorbereiten, das beispielsweise n Teilchen enthält, können Sie als Ergebnis der Streuung eine Reihe verschiedener endgültiger „Out“-Zustände haben, die m Teilchen enthalten, wobei m von n verschieden sein kann. Der „In“-Zustand sollte als lineare Kombination aller Endzustände ausdrückbar sein, da sich der Heisenberg-Zustand mit der Zeit nicht ändern sollte. Also im Grunde genommen,

$|k_1,….k_n ; in> = \Sigma |p_1,…. p_m ; out> S_{p_1……p_m;k_1….k_n}$

Der Koeffizient$S_{fi}$sind Elemente der S-Matrix, die im Wesentlichen Matrixelemente von einem Anfangszustand bis zu einem Endzustand beschreiben. Beispielsweise können zwei Elektronen in zwei Myonen oder zwei Elektronen oder was auch immer gestreut werden, aber die zwei Elektronen im Anfangszustand unterscheiden sich natürlich von den zwei Elektronen im Endzustand, da letzterer in diese Linearkombination mit a fallen würde Matrixkoeffizient.

Darüber hinaus arbeiten Sie tatsächlich in Interaktionsdarstellung (Yang-Feldman ausgenommen) in qft , wo die Zeitabhängigkeit in zwei Teile aufgeteilt wird: Die Zeitabhängigkeit nicht interagierender Systeme wird von den Operatoren getragen, während die verbleibende Zeitabhängigkeit von einem Zustandsvektor übernommen wird. Sie können also einfache Probleme vermeiden, indem Sie sich für die Interaktionsdarstellung anstelle der Heisenberg-Darstellung entscheiden.