Über Itzyksons und Zubers Beweis des Satzes von Goldstone

Question

Über Itzyksons und Zubers Beweis des Satzes von Goldstone

Physik
Hilbert-Raum
Goldstone-Modus
Teilchenphysik
Symmetriebruch
Quantenfeldtheorie

ersbygre1

In Kapitel 11-2-2 diskutieren I&Z den Satz von Goldstone. Sie beginnen mit der Behauptung, dass es sich um einen Operator handelt $A$ existiert, so dass

\begin{matrix} (11-30) & δ A (T) \equiv ⟨ 0 | [Q (T), A] | 0 ⟩ \neq 0 \end{matrix}

$\delta a(t) \equiv \langle 0| [Q(t),A]|0\rangle \neq 0 \tag{11-30}$ die Symmetrie wird spontan gebrochen. In Gl. (11-31) fügen sie eine Vollständigkeitsrelation as ein

1 = \sum_{n} | n ⟩ ⟨ n |

$1=\sum_n |n\rangle\langle n|$ :

\begin{aligned} (11-31) & δ A (T) & = \sum_{N} \int D^{3} \vec{X} [⟨ 0 | J_{0} (0) | N ⟩ ⟨ N | A | 0 ⟩ e^{- ich P \cdot X} - C . C .] \\ = \sum_{N} (2 π)^{3} δ^{3} (\vec{P}) [⟨ 0 | J_{0} (0) | N ⟩ ⟨ N | A | 0 ⟩ e^{- ich E T} - C . C .] \end{aligned}

$\begin{align} \delta a(t) &= \sum_n \int d^3\vec x [ \langle 0|j_0(0)|n\rangle\langle n|A|0\rangle e^{-i P\cdot x}-c.c. ] \tag{11-31} \\ &= \sum_n (2\pi)^3 \delta^3(\vec P) [ \langle 0|j_0(0)|n\rangle\langle n|A|0\rangle e^{-i E t}-c.c. ] \end{align}$ Nach der zeitlichen Ableitung in Gl. (11-33), was a herunterbringt

E (\vec{p})

$E(\vec p)$ , schließen sie daraus

δ^{3} (\vec{p}) E (\vec{p})

$\delta^3(\vec p) E(\vec p)$ Null sein muss, was zu masselosen Zuständen führt.

Wenn wir jedoch die folgende Vollständigkeitsrelation verwenden würden,

1 = \sum_{N} \int \frac{D^{3} \vec{P}}{(2 π)^{3} 2 E (\vec{P})} | N, \vec{P} ⟩ ⟨ N, \vec{P}, |

$1=\sum_n \int \frac{\text{d}^3 \vec p}{(2\pi)^3 2E(\vec p)} |n,\vec p \rangle\langle n,\vec p, |$ dann würden sich die Energie im Nenner und die Energie aus der zeitlichen Ableitung der Exponentialfunktion aufheben und die Schlussfolgerung von oben würde nicht mehr funktionieren, weil es keine gibt

E (\vec{p})

$E(\vec p)$ mehr!

Bearbeiten 1: Ich habe festgestellt, dass Ryders QFT-Lehrbuch (S. 292) sowie Nairs QFT-Lehrbuch (S. 246) dieselbe Vollständigkeitsbeziehung verwenden $1=\sum_n |n\rangle\langle n|$ , dh der Beweis geht in die gleiche Richtung wie der in I&Z. Aber warum wählen sie diese Vollständigkeitsrelation?

Edit 2: Vielleicht ist die Antwort, die folgende (off-shell) Vollständigkeitsbeziehung zu nehmen:

1 = \sum_{N} \int \frac{D^{4} P}{(2 π)^{4}} | P ⟩ ⟨ P |

$1=\sum_n \int \frac{\text{d}^4 p}{(2\pi)^4} |p \rangle\langle p |$ da würde das keiner geben

E (\vec{p})

$E(\vec p)$ im Nenner...?

Bearbeiten 3: Eine weitere Referenz, die verwendet $1=\sum_n|n\rangle\langle n|$ : arXiv-Link (Seite 5) und einer, der verwendet $1=\int\frac{d^3 p}{(2\pi)^3}|p\rangle\langle p|$ : arxiv-Link (Seite 19).

Bearbeiten 4: Eine Referenz gefunden (Warnung, große PDF-Dateigröße), die die Vollständigkeitsbeziehung verwendet $1=\sum_n \int \frac{\text{d}^3 p}{(2\pi)^3} |\vec p \rangle\langle \vec p |$ in Gl. (3.2) ebenfalls (Danke an @ChiralAnomaly für den Hinweis!).

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Chirale Anomalie · Answer 1

Die Beziehung

\begin{matrix} (1) & 1 = \sum_{N} \int \frac{D^{3} P}{(2 π)^{3} 2 E (P)} | N, P ⟩ ⟨ N, P | \end{matrix}

$1=\sum_n\int\frac{d^3p}{(2\pi)^32E(p)} |n,p\rangle\langle n,p| \tag{1}$ geht davon aus

\begin{matrix} (2) & ⟨ N, P | N^{'}, P^{'} ⟩ \propto 2 E (P) δ_{N N^{'}} δ^{3} (P^{'} - P) . \end{matrix}

$\langle n,p|n',p'\rangle \propto 2E(p)\delta_{nn'}\delta^3(p'-p). \tag{2}$ Mit anderen Worten, es wird davon ausgegangen, dass masselose Null-Impuls-Zustände auf Null normiert sind. Aber um SSB zu haben, die Menge (11-30)

=

$=$ (11-31) soll ungleich Null und zeitunabhängig sein. Um zeitunabhängig zu sein, Terme mit ungleich Null

E

$E$ muss in (11-31) gestrichen werden, was bedeutet, dass die Konstante ungleich Null aus Termen mit stammen muss

E = 0

$E=0$ ... und das ist ein Problem, weil diese Terme undefiniert sind, weil bei Verwendung von (1) und (2) Null durch Null geteilt wird, sodass wir keine Schlussfolgerungen darüber ziehen können, was wann passiert

E = 0

$E=0$ . Dieses Problem tritt nicht auf, wenn wir verwenden

\begin{matrix} (3) & 1 = \sum_{N} \int \frac{D^{3} P}{(2 π)^{3}} | N, P ⟩ ⟨ N, P | \end{matrix}

$1=\sum_n\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3} |n,p\rangle\langle n,p| \tag{3}$ stattdessen, weil dann

\begin{matrix} (4) & ⟨ N, P | N^{'}, P^{'} ⟩ \propto δ_{N N^{'}} δ^{3} (P^{'} - P) . \end{matrix}

$\langle n,p|n',p'\rangle \propto \delta_{nn'}\delta^3(p'-p). \tag{4}$

Vielen Dank, das macht Sinn. Die meisten QFT-Lehrbücher, die mir einfallen, verwenden die Normalisierung (2), da sie schön Lorentz-invariant ist. Verwenden wir die Normalisierung (4) nur zum Beweis des Goldstone-Theorems und kehren dann zur kovarianten Normalisierung (2) zurück? Mit anderen Worten: Wenn wir später mit NG-Modi arbeiten, verwenden wir (2) oder (4)?
2. Frage: Das von Ihnen erwähnte Thema Null geteilt durch Null ist dies die Energie, die aus der Zeitableitung und der Energie im Nenner Ihrer Gleichung stammt. (1)?
Vielen Dank für die ausführlichen Antworten, das hilft mir sehr! In Bezug auf Ihren dritten Kommentar verwenden I & Z (und andere) daher eine Lautstärkegrenze -> unendlich, wenn sie über das Goldstone-Theorem sprechen. Und nur um sicher zu sein, die Tatsache, dass sie nicht normalisiert werden können, liegt an der $\delta^{(3)}(0)$ , Rechts?

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