Nr. von Mikrozuständen und Makrozuständen für ein System

Question

Nr. von Mikrozuständen und Makrozuständen für ein System

imbAF

Nehmen wir an, wir haben ein System S (ein Quantengas, entweder ein Boson oder ein Fermion-Gas), das aus vielen Subsystemen besteht, mit denen wir indizieren werden $i$ . Ein Teilsystem ist gekennzeichnet durch:

$\bar {\epsilon_i}$ es ist der durchschnittliche Energiewert.

$g_i$ Nr. unterschiedlicher Energiewerte, die ein in diesem Subsystem befindliches Teilchen annehmen kann.

$n_i$ die Anzahl der Teilchen im Subsystem.

Betrachten wir nun nur ein beliebiges Teilsystem mit mittlerer Energie $\bar {\epsilon_i}$ :

Ein Mikrozustand wäre eine Anordnung der $n_i$ Partikel in der $g_i$ Energiewerte. Wenn wir uns für einen Moment nicht mit der Art des Gases (Einfachbelegung oder Mehrfachbelegung) und der Art der Teilchen (unterscheidbar oder nicht unterscheidbar) befassen, sondern wir sagen einfach, dass die Anzahl der Mikrozustände die Anzahl möglicher Anordnungen von $n_i$ Partikel in der $g_i$ Energiewerte ist $w(i)$ .

Jetzt ist das Problem für mich die Anzahl der Makrozustände.

Ein Makrozustand des Subsystems kann als Charakteristikum den Energiewert wann haben $n_i$ Partikel werden in die platziert $g_i$ Energiewerte. So:

$E_i=\Sigma_{k=1}^g n_i^k\epsilon_i^k$ .

Ich möchte wissen, wie viele Makrozustände das Subsystem hat?

Die Anzahl der Makrozustände sollte kleiner als die Anzahl sein. von Mikrozuständen. Zum Beispiel können wir x Anordnungen der Teilchen haben, deren Gesamtenergie gleich ist. Dies ist ein Makrozustand mit einer Multiplizität von x. Wie finde ich also die Nr. von Makrozuständen?

Lili FN

Wenn die Energiewerte gleichmäßig verteilt sind und jedes Teilchen alle aufnehmen kann, ist dies gleichbedeutend mit der Frage, welche Werte die Summe sind

n_{i}

$n_i$ Zahlen ausgewählt aus

{0, 1, . . ., g_{i}}

$\{0, 1, ..., g_i\}$ nehmen kann - und die Antwort ist alles dazwischen

0

$0$ Und

n_{i} g_{i}

$n_i g_i$ .

imbAF

sollte es nicht etwas dazwischen sein

n_{i}^{1} ϵ_{i}^{1}

$n_i^1\epsilon_i^1$ Und

n_{i}^{g} ϵ_{i}^{g}

$n_i^g\epsilon_i^g$ ? Welchen minimalen und maximalen Energiewert können die Teilchen annehmen, wenn wir eine Mehrfachbelegung zulassen?

Lili FN

Ich habe aus Ihrer Frage verstanden, dass Sie nach der Anzahl der Makrozustände für eines der spezifischen Subsysteme mit Index fragen

i

$i$ . Und natürlich können wir durch mit multiplizieren

ϵ_{i}

$\epsilon_i$ wenn das die Energieeinheiten für die sind

i

$i$ Subsystem, aber die Antwort (die Anzahl der Makrozustände) ist die gleiche.

Antworten (1)

Nr. von Mikrozuständen und Makrozuständen für ein System

Wenn die Energiewerte gleichmäßig verteilt sind und jedes Teilchen alle aufnehmen kann, ist dies gleichbedeutend mit der Frage, welche Werte die Summe sind $n_i$ Zahlen ausgewählt aus $\{0, 1, ..., g_i\}$ nehmen kann - und die Antwort ist alles dazwischen $0$ Und $n_i g_i$ .
sollte es nicht etwas dazwischen sein $n_i^1\epsilon_i^1$ Und $n_i^g\epsilon_i^g$ ? Welchen minimalen und maximalen Energiewert können die Teilchen annehmen, wenn wir eine Mehrfachbelegung zulassen?
Ich habe aus Ihrer Frage verstanden, dass Sie nach der Anzahl der Makrozustände für eines der spezifischen Subsysteme mit Index fragen $i$ . Und natürlich können wir durch mit multiplizieren $\epsilon_i$ wenn das die Energieeinheiten für die sind $i$ Subsystem, aber die Antwort (die Anzahl der Makrozustände) ist die gleiche.

ytlu · Answer 1

Die hier verwendeten Begriffe sind eine Art Verwirrung. Lassen Sie uns diese zuerst klarstellen.

Das makroskopische System wird durch einige thermodynamische Parameter, wie die Gesamtzahl, spezifiziert $N$ , Volumen $V$ , und durchschnittliche Energie $U$ . Diese Parameter definieren einen makroskopischen Zustand, einen makroskopischen Zustand.

Wie groß ist dann mit diesen gegebenen Parametern die Anzahl der mikroskopischen Zustände, die diese Makroparameter erfüllen? Dies ist bekannt als die Anzahl mikroskopischer Konfigurationen oder die mikroskopische Vielfalt. Genauer gesagt können wir es nennen the microscopic multiplicity of the given macroscopic state.

Für Ihren Fall können wir den Index vernachlässigen $i$ der Einfachheit halber. Die Zwangsbedingungen zum Zählen der Multiplizität sind

\begin{aligned} \sum_{k} N_{k} & = N . den Index vernachlässigt ich . \\ \sum N_{k} ϵ_{k} & = E . \end{aligned}

$\begin{align*} \sum_k n_k &= n.\,\,\, \text{neglected the index $i$.}\\ \sum n_k \epsilon_k &= E. \end{align*}$ Und die Vielfalt ist

G (N, E) = \frac{N!}{\prod_{k} N_{k}!}

$g(n, E) = \frac{n!}{\prod_k n_k!}$

Nehmen wir dann an, dass wir im kanonischen Ensemble arbeiten, und speichern den Index neu $i$ ( $n_i = n$ für kanonisches Ensemble) zur Summe für die Partitionsfunktion:

Z_{N} = \sum_{ich} G_{ich} (N, E_{ich}) e^{- β E_{ich}} = \sum_{ich} \frac{N!}{\prod_{k} N_{k}!} e^{- β E_{ich}}

$Z_n = \sum_i g_i(n, E_i) e^{-\beta E_i} = \sum_i\frac{n!}{\prod_k n_k!} e^{-\beta E_i}$

Unter großkanonischem Ensemble ( $n\to n_i$ , $n_k \to n_{ik}$ ):

Z_{N} = \sum_{ich} G_{ich} (N_{ich}, E_{ich}) e^{- β (E_{ich} - μ N_{ich})} = \sum_{ich} \frac{N_{ich}!}{\prod_{k} N_{ich k}!} e^{- β (E_{ich} - μ N_{ich})}

$Z_n = \sum_i g_i(n_i, E_i) e^{-\beta (E_i - \mu n_i)} = \sum_i \frac{n_i!}{\prod_k n_{ik}!} e^{-\beta (E_i - \mu n_i)}$

Nr. von Mikrozuständen und Makrozuständen für ein System

imbAF

Lili FN

imbAF

Lili FN

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ytlu

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