Angenommen, Sie haben Teilchen, von denen jedes beliebige besetzen kann Zustände. Im Allgemeinen können Sie die schreiben Partikel-Hilbert-Raum als Produkt von Teilchen-Hilbert-Räume :
Dies bedeutet, dass die Teilchenraum haben wird .
Nun betrachten wir die üblichen Unterräume: für Fermionen u für Bosonen. Für ihre Abmessungen haben wir
Was passiert mit den „fehlenden“ Maßen? Kann etwas über eine Zerlegung von gesagt werden als Folge des Symmetrisierungspostulats?
Das Symmetrisierungspostulat besagt zwar, dass in der Natur nur entweder vollständig symmetrische oder vollständig antisymmetrische Zustände realisiert werden, je nachdem, ob der Spin ganzzahlig oder nichtganzzahlig ist (und unter der Annahme, dass alle Teilchen identisch sind – ansonsten ist die Symmetrisierung nur über jede Gruppe von Identischen vorzunehmen Partikel). Also das gebrauchte Teil entweder oder (keine Superpositionen wie in Ihrer direkten Summe). Nicht symmetrierte Zustände kommen für realistische Systeme einfach nicht in Frage, obwohl es viele davon gibt .
Aus rein mathematischer Sicht kann man jedoch zerlegen in eine direkte Summe von Unterräumen, die jeweils eine irreduzible Darstellung der symmetrischen Gruppe der enthalten Partikel. Zwei dieser Unterräume haben eine physikalische Bedeutung - genau diejenigen, bei denen die Darstellung 1-dimensional ist. Die verbleibenden Unterräume würden hypothetischen „parafermionischen“ Teilchen entsprechen, die in der Natur nicht vorkommen.