Helium-Zwei-Teilchen-System aus identischen Teilchen

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Die Gleichungen [5.27]-[5.31] sind eine Beschreibung eines Zwei-Teilchen-Systems (ein Elektron, jedes in einem Wasserstoffatom). Die Annahme scheint zu sein, dass diese Elektronen unterscheidbar sind (siehe Gleichung [5.28]), aber die Diskussion dieser Gleichungen unten, von „Weil ψ 0 ist eine symmetrische Funktion, der Spinzustand muss antisymmetrisch sein...", scheint davon auszugehen, dass wir mit identischen Fermionen arbeiten, die daher erforderlich sind, um die Antisymmetrisierungsbedingung zu erfüllen . Warum gibt es diese Diskrepanz?

Vorgeschlagene Antwort: Ist die Begründung, dass, obwohl die obigen Gleichungen davon ausgehen, dass die Fermionen unterscheidbar sind, wir trotzdem denselben Grundzustand erhalten, wenn wir davon ausgehen, dass es sich um identische Fermionen handelt. Dies folgt, da der räumliche Teil wäre

ψ 0 ( R 1 , R 2 ) = A [ ψ 100 ( R 1 ) ψ 100 ( R 2 ) + ψ 100 ( R 1 ) ψ 100 ( R 2 ) ]
was sich reduziert auf
ψ 0 ( R 1 , R 2 ) = 8 π A 3 e − 2 ( R 1 + R 2 ) A
sowieso nach der Normalisierung?

Danke.

Antworten (1)

Wie üblich beginnt man im ersten Teil eines "Vielteilchen"-Problems damit, eine nicht (anti)simmetrisierte Wellenfunktion zu finden. Damit vernachlässigt man vorübergehend die Ununterscheidbarkeit der Teilchen. Sobald diese Art von "primitiver" Lösung gefunden wurde, führt man die Tatsache, mit der wir arbeiten, wieder ein nicht zu unterscheiden Partikel. Wie? Manuelles Schreiben der (anti)symmetrisierten Version der primitiven Lösung. In Ihrer "vorgeschlagenen Antwort" haben Sie den symmetrischen räumlichen Teil der Wellenfunktion Ihres Systems korrekt geschrieben (vorausgesetzt, beide Elektronen befinden sich im selben Einzelteilchenzustand). Wie Sie sehen können, ändert sich in diesem Beispiel nach der Normalisierung nichts in Bezug auf die "primitive" Wellenfunktion.

Um die Diskrepanz zwischen dem erwarteten theoretischen Ergebnis und dem experimentellen zu erklären, sollten Sie die abstoßende Wechselwirkung zwischen dem Elektron berücksichtigen, die die Hamiltonsche nicht-separierbare und damit die Wellenfunktion nicht faktorisierbar macht. Ein komplizierterer Ansatz ist erforderlich, um das interagierende System zu betrachten.

Mit "nichts ändert sich in Bezug auf die primitive Wellenfunktion" meinen Sie, wenn wir die betrachten ψ 0 meiner vorgeschlagenen Antwort dann da ∫ ∫ | ψ 0 ( R 1 , R 2 ) | D R 1 D R 2 = 1 das können wir zeigen A = 1 2 , daher ψ 0 äquivalent zu Gleichung [5.30] ist, ändert sich also nichts? Außerdem verwenden Sie "primitiv" einfach wegen der Wellenfunktion ψ 0 ist ein Produkt stationärer Zustände?
Ja, deshalb habe ich gesagt, dass sich nichts ändert. In Bezug auf den zweiten Teil Ihres Kommentars ist das Wort "primitiv" nicht offiziell. Tatsächlich gibt es meines Wissens nach keine Standarddefinition für eine noch nicht (anti) symmetrisierte "Wellenfunktion". Ich benutze es, um die Tatsache zu unterstreichen, dass es noch nicht als Wellenfunktion interpretiert werden kann, aber es ist der Keim zum Aufbau der eigentlichen Wellenfunktion. Und ja, es ist einfach das Produkt stationärer Zustände.
@JohnDoe, Sie sollten die Antwort akzeptieren, wenn Sie damit zufrieden sind. Geben Sie andernfalls der Community weitere Details zu Ihrer Frage.
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