Wie lautet die physikalische Interpretation der Dichtematrix in doppelt stetiger Basis |α⟩|α⟩|\alpha\rangle, |β⟩|β⟩|\beta\rangle?

(a) Jedes Lehrbuch gibt die Interpretation der Dichtematrix auf einer einzigen kontinuierlichen Basis an | a ⟩ :

  • Die diagonalen Elemente ρ ( a , a ) = ⟨ a | ρ ^ | a ⟩ Bevölkerung geben.

  • Die außerdiagonalen Elemente ρ ( a , a ' ) = ⟨ a | ρ ^ | a ' ⟩ Zusammenhänge geben.

(b) Aber was ist die physikalische Interpretation (falls vorhanden) der Dichtematrix? ρ ( a , β ) = ⟨ a | ρ ^ | β ⟩ für eine doppelt kontinuierliche Basis | a ⟩ , | β ⟩ ?

Ich weiß das, wenn die doppelte Basis dann Ort und Impuls sind ρ ( P , X ) wird als Pseudowahrscheinlichkeit interpretiert . Ich muss gestehen, dass ich das Konzept der Pseudo-Wahrscheinlichkeit [*] nie vollständig verstanden habe , aber ich würde gerne wissen, ob diese physikalische Interpretation als Pseudo-Wahrscheinlichkeit auf eine beliebige kontinuierliche Basis ausgedehnt werden kann | a ⟩ , | β ⟩ für nicht pendelnde Betreiber a ^ , β ^ und als Wahrscheinlichkeit für Pendler.

[*] Besonders weil ρ ( P , X ) ist begrenzt und kann nicht 'spike' sein.

EDIT: Um weitere Missverständnisse zu vermeiden, füge ich einige Hintergrundinformationen hinzu. Quantenmittelwerte können kontinuierlich erhalten werden | a ⟩ als

⟨ A ⟩ = ∫ D a ⟨ a | ρ ^ A ^ | a ⟩

(a) Einführung der Schließung auf derselben Basis | a ⟩

⟨ A ⟩ = ∫ D a ∫ D a ' ⟨ a | ρ ^ | a ' ⟩ ⟨ a ' | A ^ | a ⟩ = ∫ D a ∫ D a ' ρ ( a , a ' ) A ( a ' , a )

mit der üblichen physikalischen Interpretation für die Dichtematrix ρ ( a , a ' ) wie oben besprochen.

(b) Einführung einer Schließung in einer zweiten Basis | β ⟩ , erhalten wir die alternative Darstellung

⟨ A ⟩ = ∫ D a ∫ D β ⟨ a | ρ ^ | β ⟩ ⟨ β | A ^ | a ⟩ = ∫ D a ∫ D β ρ ( a , β ) A ( β , a )

Wenn die beiden Basis sind Momentum | P ⟩ und Stellung | X ⟩ die Dichte ρ ( P , X ) ist die wohlbekannte Wigner-Funktion, deren physikalische Interpretation die einer Pseudo-Wahrscheinlichkeit ist. Meine Frage bezieht sich auf die physikalische Interpretation von ρ ( a , β ) in zwei willkürlicher Basis | a ⟩ , | β ⟩ .

Eine Interpretation ist, dass es sich um komplexe Wahrscheinlichkeiten handelt, siehe iopscience.iop.org/1367-2630/14/4/043031/pdf/… .
@PiotrMigdal Ausgezeichneter Artikel! Die Idee einer gemeinsamen Wahrscheinlichkeit ist sinnvoll. Ich werde es mehr studieren.

Antworten (3)

Wahrscheinlichkeiten haben nur dort eine physikalische Bedeutung, wo sie messbar sind. Zwischen Zuständen einer Zeigerbasis in einem Messkontext haben die Matrixelemente einer Dichtematrix die standardmäßige probabilistische Bedeutung.

Auf jeder anderen Grundlage sind sie nur mathematische Ausdrücke, die zwischen anderen interessierenden Berechnungen liegen. (Ich würde keinen Cent für Versuche geben, diese als nichtphysikalische Pseudowahrscheinlichkeiten zu interpretieren.)

Danke schön! Der Teil über Messungen scheint sehr verwandt mit meiner Bemerkung über die Spikeness der Wigner-Funktion zu sein, aber mein Ziel war es hier nicht, das Konzept der Pseudo-Wahrscheinlichkeit zu diskutieren, sondern zu wissen, ob es über die Impuls-Positions-Basis hinaus erweitert werden kann. Darüber hinaus scheint Ihre Antwort die Fälle zu vermeiden, in denen die Betreiber pendeln. Mein Glaube ist, dass dies wahre Wahrscheinlichkeiten anstelle von Pseudowahrscheinlichkeiten wären. Irre ich mich?
@juanrga: Ja, aber du hast sie angerufen X Und P , die nicht pendeln. - Sie hatten nach einer Pseudo-Wahrscheinlichkeitsinterpretation gefragt. Dies ist im Wigner-Fall einigermaßen sinnvoll, da man die kalssische Grenze nehmen kann, wo sich Phasenraumwahrscheinlichkeiten ergeben. Aber für allgemeine Grundlagen hat man keine solche einschränkende Interpretation.
Nun, ich bezog mich auf „ willkürliche kontinuierliche Basis a Und β " und sagte, ich interessiere mich für beide Fälle, wann die Bediener pendeln und wann nicht. Ich fragte nach einer Pseudo-Wahrscheinlichkeitsinterpretation für nicht pendelnde Bediener und nach der Interpretation "als Wahrscheinlichkeit für pendelnde ". Ich habe verwendet X Und P nur als veranschaulichendes Beispiel. Ich folge Ihrem Argument über die klassische Grenze nicht (die Wigner-Funktion reduziert sich nicht auf klassische Phasenraumwahrscheinlichkeiten), aber danke.

Ihre Aussage zu einer Pseudo-Wahrscheinlichkeitsinterpretation ist insofern etwas falsch, als Sie die Wigner-Quasi-Wahrscheinlichkeitsverteilung mit Sicherheit nicht in Ihre Bearbeitung geschrieben haben.

Nehmen Sie Ihre beiden Basen zu sein X Und P Genauer gesagt, was du geschrieben hast, ρ ( X , P ) , bis zu einer Phase: e ( ich X P / H ) , ist die „Standard-Ordnungsvorschrift“ für Quasi-Verteilungsfunktionen, oft fälschlicherweise als „Mehta-Vorschrift“ bezeichnet , eingeführt von Terletski 1937 und Blokhintsev 1940, vgl. Übung 0.19 von Ref 1 ist hier online verfügbar .

Tatsächlich ist Ihr Erwartungswert in b) genau Blokhintsevs Gleichung (11') über seine (5) oder Terletskys Gleichung (18)!

Dein ρ ( X , P ) ist nichtsdestotrotz mit der Wigner-Quasi-Wahrscheinlichkeitsverteilung durch den in dieser Übung bereitgestellten Kernel verbunden - und in Moyals Originalarbeit, wo es in den 40er Jahren entdeckt wurde.

Sie haben völlig Recht, dass die Wigner-Verteilung und damit die Standardverteilung begrenzt sind, sodass sie eine vollständige Lokalisierung ausschließen und das Kolmogorov-Axiom über unterschiedliche disjunkte Alternativen für verschiedene Punkte im Phasenraum und seine Argumente verletzen, und daher ist ihre Interpretation etwas metaphorisch. wie jeder, der mit der Phasenraum-Quantisierung vertraut ist, Tag und Nacht und während der Dämmerungsstunden der Komplexität im Gedächtnis behält.

Ihre Suche nach einer physikalischen Interpretation ist jedoch etwas offen: Leute in der Quantenoptik schreiben routinemäßig formal ähnliche Ausdrücke mit Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren oder Bargmann-Segal-Raumintegralen und betonen die offensichtliche Analogie mit dem Phasenraum, den Sie geschrieben haben. Warum befolgen Sie nicht einfach die Formeln und erhalten korrekte Ergebnisse, anstatt phantasievolle und gefährliche Analogien auszudehnen? Blokhintsev hat dafür in der Tat teuer bezahlt...

Ref. 1: Thomas L. Curtright, David B. Fairlie, & Cosmas K. Zachos, A Concise Treatise on Quantum Mechanics in Phase Space , World Scientific, 2014,

Ich lese Ihre Abhandlung, sie ist sehr schön!

Wie ist ⟨ a | ρ ^ | β ⟩ anders als ⟨ a | ρ ^ | a ' ⟩ ? Beide Darstellungen sind basisunabhängig, d.h. Sie können jede Basis Ihrer Wahl wählen (Position, Impuls, you-name-it).

Wenn sich Ihre Frage auf die Tatsache bezieht, dass es manchmal nützlich ist, zwei Indizes anstelle von einem zu verwenden, um die Zustände (wie Spin und Impuls) aufzuzählen, müssen Sie feststellen, dass Sie sie leicht zu einem Index kombinieren können (der dann möglicherweise mehrdimensional ist ) und dass Sie jeden einzelnen Basisindex auf ähnliche Weise in mehrere Indizes aufteilen können, sollte Ihr Problem lösen.

| a ⟩ Und | a ' ⟩ sind zwei Elemente derselben Basis. | a ⟩ Und | β ⟩ sind zwei Elemente von zwei verschiedenen Grundlagen.
Soll die Dirac-Darstellung nicht basisunabhängig sein? Ganz zu schweigen davon, dass es für mich auch nicht viel Sinn macht, zwei verschiedene Basen im Ausdruck (Matrixmultiplikation) zu haben.
(i) Basisunabhängigkeit bedeutet nicht, dass die physikalische Interpretation in jeder Darstellung unverändert bleibt, und ich frage gerade nach der physikalischen Interpretation der Dichtematrix ρ ( a , β ) . (ii) Es muss für Sie nicht viel Sinn machen, aber wie in der ursprünglichen Frage angegeben ρ ( P , X ) wird in den Lehrbüchern als Pseudowahrscheinlichkeit interpretiert.
Wie lautet die physikalische Interpretation der Dichtematrix in doppelt stetiger Basis |α⟩|α⟩|\alpha\rangle, |β⟩|β⟩|\beta\rangle?
AntwortenHierDatenschutz-Bestimmungen1y, 0v