Ein Beispiel für ein Quantensystem, für das die Wigner-Funktion zu negativen Werten übergeht

Die Wigner-Funktion ist die Fourier-Transformation in einer Variablen der Dichtematrix für das einzelne Teilchen$\rho(x,y)$. Wenn Sie in y Fourier transformieren, erhalten Sie die Wigner-Funktion$\rho(x,p)$. Dies ist wichtig zu verstehen, weil es erklärt, warum die Wigner-Funktion überhaupt interessant ist und warum sie einer einfachen Dynamik gehorcht. Es zeigt auch, dass es keine Wahrscheinlichkeitsinterpretation abseits der klassischen Grenze gibt, da nur die Elemente der Dichtematrix auf der Diagonale Wahrscheinlichkeiten sind.

Frage 1: Ist es möglich, dass die Wigner-Dichte negativ wird, nachdem sie positiv gestartet wurde?

Die Antwort ist ja für ein allgemeines Potential, aber für den Spezialfall eines harmonischen Oszillators ist die Antwort nein, weil die Zeitentwicklung nur den Phasenraum dreht. Für den anderen Spezialfall eines freien Teilchens breitet sich eine Gaußsche Wellenfunktion einfach in eine breitere Gaußsche aus, also ist es dort auch nicht möglich. Aus diesem Grund fällt es Ihnen schwer, ein Beispiel zu bekommen.

Es ist auch wahr, dass halbklassisch die Bewegung entlang der klassischen Trajektorie verläuft, mit Scherung entsprechend der Periodenänderung mit zunehmendem J. Wenn also eine semiklassische Wigner-Matrix in der Nähe einer einzelnen nicht chaotischen Trajektorie positiv ist, wird sie nicht negativ. in der Nähe der Flugbahn, zumindest nicht für lange Zeit.

Aber es ist sehr einfach, jede Art von Wigner-Dichte vom semiklassischen Regime wegzubekommen.

Frage 2: Was ist mit der Interpretation "Wahrscheinlichkeitsdichte im Phasenraum"?

Diese Deutung ist fehlerhaft. Die Dichtematrix ist nur eine Wahrscheinlichkeit für Elemente auf der Diagonale. Die Fourier-Transformation der Wigner-Dichte in x oder p hat also immer eine diagonale Interpretation der Wahrscheinlichkeitsdichte, aber die Wigner-Funktion der x,p-Position ist nichts. Es ist nur eine komplizierte Codierung von Matrixelementen außerhalb der Diagonale, die nicht besonders speziell oder nützlich ist, abseits der halbklassischen Grenze.

Um zu sehen, dass es nicht gut ist, betrachten Sie einen Zustand einer ebenen Welle, dessen Phasenraum-Wigner-Dichte das Profil einer ebenen Welle multipliziert mit einer Delta-Funktion bei einem bestimmten Wert von p ist. Wenn Sie einen Klumpen in ungefähr ebene Wellen streuen, ist der Endzustand der Streuung ein Haufen komplexer Dinge, die keine Interpretation als Phasenraumwahrscheinlichkeit haben.

Die richtige Interpretation von Wigners Phasenraumdichte ist, dass es sich um eine Fourier-Transformation der Dichtematrix handelt, nicht mehr.

Die Male, in denen die Wigner-Funktion positiv ist, bedeutet nicht , dass sie als Wahrscheinlichkeitsverteilung interpretiert werden sollte. (Welche Ereignisse wäre die Wahrscheinlichkeitsverteilung von ? Sicherlich keine unscharfe gemeinsame Messung von Ort und Impuls, z. B. bei kohärenten Zuständen; das ist die Husimi-Q-Funktion.)

Gibt es ein einfaches System (hoffentlich einen einfachen harmonischen Oszillator-basierten Zustand), für das die Wigner-Dichte in bestimmten Regionen von positiv-definit zu negativ übergeht?

Die einzigen nicht negativen Wigner-Funktionen für reine Zustände sind Mischungen aus reinen Gaußschen Wellenpaketen. Quadratische Hamilton-Oszillatoren (wie der einfache harmonische Oszillator) bewahren die Gaussianität reiner Zustände, sodass die Wigner-Funktion niemals teilweise negativ wird, nachdem sie nicht negativ begonnen hat, oder umgekehrt.

Andererseits haben nichtquadratische Hamiltonoperatoren diese Eigenschaft nicht. So ziemlich jeder nicht-quadratische Hamiltonian, den Sie aus einem Hut ziehen, wird im Allgemeinen strikte Positivität zerstören und erzeugen. Es passiert jedoch nicht wirklich etwas Tiefgründiges, da Sie auf keinen Fall eine Wahrscheinlichkeitsinterpretation der Wigner-Funktion vornehmen sollten. sie wird aus gutem Grund als Quasi-Wahrscheinlichkeitsverteilung bezeichnet.

Die probabilistische Interpretation der Wigner-Funktion ist bereits auf der Ebene der Kolmogorov-Axiome fehlerhaft, selbst für unablässig positive Werte. Das heißt, zwei Punkte im Phasenraum in einem Abstand von weniger als$\hbar$schließen sich nicht gegenseitig aus.

Im physikalischen Sprachgebrauch sind diese beiden Punkte nicht auf Heisenberg-UncPrncp-zulässige Weise unterscheidbar und bereits miteinander "vermischt" - negative Werte für die Wigner-Funktion vorhanden oder nicht! Das Fehlen einer positiven Halbeindeutigkeit des WF ist nicht das Haupthindernis für eine strenge probabilistische Interpretation – ein Fehler, der in Diskussionen über die Husimi oft wiederholt wird und später zu Fehlern führt.

Alle WFs schränken automatisch die Phasenraumvarianz ein, um sie zu überschreiten$\hbar$(vgl. Lit. 1), ob sie negative Regionen haben oder nicht, und daher sind alle immun gegen streng probabilistische Interpretationen. Trotzdem "erledigen sie die Arbeit" von Wahrscheinlichkeitsverteilungen: Sie dienen dazu, das Phasenraummaß für Integrale bereitzustellen, die Erwartungswerte für Observablen erzeugen.

Negative Werte des WF sind tatsächlich ein großer Vorteil in der Phasenraumformulierung und keine Belastung, da sie die *-Orthogonalität verschiedener Zustände sicherstellen (Wigners Beobachtung, op cit). Darüber hinaus sind sie ein zuverlässiges Kennzeichen der Quanteninterferenz. Sie sind natürlich hinsichtlich der Phasenraumbereiche "klein", ungefähr in der Größenordnung von wenigen$\hbar$S. (Dies wird durch Faltung mit einer Gaußschen Breite größer als deutlich$\hbar$, wobei ein Satz sicherstellt, dass die resultierende Weierstraß-Transformation positiv semidefinit sein muss. Folglich sind hypothetische Pfützen mit einheitlichem negativem Wert größer als ein paar$\hbar$s würde negative Werte ergeben, wenn es mit einem positiven kleineren Gaußschen Wert gefaltet wird; was durch den obigen Satz ausgeschlossen ist: solche Pfützen kann es nicht geben.)

Verweise:

1. Thomas L. Curtright, David B. Fairlie und Cosmas K. Zachos, A Concise Treatise on Quantum Mechanics in Phase Space, World Scientific, 2014. Die PDF-Datei ist hier verfügbar .