Nortons Dome und seine Gleichung

Zusätzlich zu der richtigen Antwort von Lubos Motl möchte ich einige Anmerkungen zu Nortons Kuppel machen :

1. Zunächst eine kurze Herleitung der Nortonschen Bewegungsgleichung (7). Ich nenne lieber die (nicht negative) Bogenlänge$r$zum$s$, und die vertikale Höhe$-h$zum$z$. Wie Lubos Motl werde ich einen Proportionalitätsfaktor einführen$K$aus dimensionalen Gründen, so dass die Gleichung für Nortons Kuppel lautet

   $$z~=~-\frac{2K}{3g}s^{3/2}. \tag{1}$$ Hier die Konstante$(g/K)^2$hat die Dimension der Länge. Gleichung (1) soll nur für hinreichend kleine (aber endliche) Bogenlängen gelten$s\geq 0$. Da es keine Reibung gibt, haben wir mechanische Energieerhaltung$^1$ $$0~=~\frac{E}{m}~=~\frac{\dot{s}^2}{2}+gz.\tag{2}$$
   In der ersten Gleichung von (2) haben wir die Anfangsbedingungen verwendet $$s(t\!=\!0)~=~0, \qquad \dot{s}(t\!=\!0)~=~0.\tag{3}$$ Wir nehmen an, dass$t\mapsto s(t)$ist zweimal differenzierbar bzgl. Zeit$t\geq 0$. (Im Detail, zum Anfangszeitpunkt$t=0$wir nehmen an, dass die Funktion einseitig zweimal von rechts differenzierbar ist.) Ableitung von Gl. (2) bzgl. Zeit$t$führt zu $$\dot{s}\ddot{s}~\stackrel{(2)}{=}~-g\dot{z}.\tag{4}$$ Division auf beiden Seiten von Gl. (4) mit$\dot{s}$Erträge$^2$ $$\ddot{s}~\stackrel{(4)}{=}~-g\frac{\dot{z}}{\dot{s}}~=~-g\frac{dz}{ds}~\stackrel{(1)}{=}~K\sqrt{s}~.\tag{5}$$ Gleichung (5) ist die gesuchte Bewegungsgleichung. Alternativ kombiniert man Gl. (1) und (2) ergeben die folgende ODE erster Ordnung $$\dot{s} ~\stackrel{(1)+(2)}{=}~\sqrt{\frac{4K}{3}} s^{\frac{3}{4}}. \tag{6}$$

2. Nortons Anfangswertproblem (IVP) ist

   $$\begin{align} \ddot{s}(t)~=~&K\sqrt{s(t)}, \cr s(t\!=\!0)~=~&0, \cr \dot{s}(t\!=\!0)~=~&0, \cr t~\geq~&0. \end{align}\tag{7}$$ Das IVP (7) hat zwei Lösungszweige$^3$ $$s(t) ~=~\frac{K^2}{144}t^4\qquad\text{and}\qquad s(t) ~=~0~, \tag{8}$$ wie man leicht nachprüfen kann. Das Fehlen der lokalen Eindeutigkeit der ODE (7), was zum Indeterminismus des klassischen Systems führt, kann aus mathematischer Sicht auf die Quadratwurzel zurückgeführt werden$\sqrt{s}$in Gl. (7) scheidet an Lipschitz -stetig aus$s=0$.

3. Alternativ kann man aus der Erhaltung der mechanischen Energie (6) den IVP betrachten

   $$\begin{align} \dot{s}(t) ~=~&\sqrt{\frac{4K}{3}} s(t)^{\frac{3}{4}}, \cr s(t\!=\!0)~=~&0,\cr t~\geq~&0.\end{align}\tag{9}$$ Es überrascht nicht, dass das IVP (9) die gleichen zwei Lösungszweige (8) hat und somit auch das Fehlen einer lokalen Eindeutigkeit demonstriert.

$^1$Ich stelle mir vor, dass das Punktteilchen ohne Reibung gleitet . (Die rollende Kugel in Nortons Abbildung ist leicht irreführend und dient vermutlich nur der Veranschaulichung.) Eine vollständigere Ableitung würde überprüfen, ob das Punktteilchen den Kontakt mit dem Schicksal verliert. Möchte man eine solche Analyse vermeiden, so kann man der Einfachheit halber davon ausgehen, dass die Kuppel eine zweiseitige Zwangsbedingung ist.

$^2$Teilung mit$\dot{s}$gilt nur wenn$\dot{s}\neq 0$. Erinnern Sie sich jetzt daran, dass die mechanische Energie$E=0$ist Null. Wenn$\dot{s}=0$dann$z=0$und daher$s=0$muss Null sein, vgl. Gl. (1) und (2). Daher ist das Problem der Division durch Null auf die Spitze der Kuppel beschränkt. Letztendlich stellt sich heraus, dass die$\dot{s}=0$Verzweigung führt nicht zu neuen Lösungen, die nicht bereits in Gl. (8) noch ändert Nortons IVP (7).

$^3$Für jede Lösung$s$, die für nicht negative Zeiten definiert ist$t\geq 0$, lassen Sie uns der Einfachheit halber trivial erweitern$s(t<0):=0$für negative Zeiten$t<0$. Wenn wir dann eine Lösung zeitübersetzen$t\mapsto s(t)$in die Zukunft bekommen wir eine andere Lösung$t\mapsto s(t-T)$für einige Modulparameter$T\geq 0$. Daher ist streng genommen der erste Zweig in Gl. (8) erzeugt eine 1-Parameter-Lösung mit einem Moduli-Parameter$T\geq 0$. Das IVP (7) hat also tatsächlich unendlich viele Lösungen! Beachten Sie, dass der zweite triviale Lösungszweig (8) als angesehen werden kann$T\to \infty$Moduli-Limit des ersten Lösungszweiges (8).

Möglicherweise stellen Sie fest, dass die Gleichungen den Test der Dimensionsanalyse nicht bestehen. Einige Faktoren fehlen.

Lassen Sie mich jedoch Ihre Frage beantworten:

Der Grund, warum die Beschleunigung nie überschreitet$g$ist, dass die Kuppel eigentlich endlich ist, sie ist unten abgeschnitten. Bei zu hohen Werten von$r$, Ihre anfängliche Formel für$h(r)$wird tatsächlich übersteigen$r$selbst, und Sie werden keine Punkte finden können, die "tiefer" unter dem Gipfel liegen als die Gesamtlänge vom Gipfel entlang der Kuppel. Nun, die Kuppel wird tatsächlich früher abgeschnitten.

Siehe zB diese Darstellung des Problems. Beachten Sie, dass Nortons Ziel darin bestand, das Verhalten in der Nähe zu untersuchen$h=0$und$r=0$die er ein "Beispiel für Indeterminismus in der Newtonschen klassischen Physik" nannte, weil das Teilchen beliebig lange an der Spitze sitzen und plötzlich frei entscheiden und ins Rollen kommen kann. Deshalb ist das Abschneiden der Kuppel nicht wichtig.

Hier sind meine allgemeineren Kommentare zu Nortons Kuppel und ihrer Harmlosigkeit in der Quantenphysik .

In diesem Artikel habe ich auch berechnet, dass die Kuppel dort enden muss, wo$dh/dr=1$weil es der Sinus eines Winkels ist, der impliziert$r_{\rm max}=(9/4)g^2=h_{\rm max}$; Ich verwende auch einen zusätzlichen Koeffizienten$K$um die Formeln maßhaltig zu machen.

Die Kuppelgleichung wird in Form von Bogenlänge und -höhe ausgedrückt, was eine Menge schlechtes Verhalten verbirgt. Wie Luboš betont hat, ist es ab einem bestimmten Punkt nicht mehr physisch, also müssen wir es einschränken, bevor das passiert.

Sie können tatsächlich die kartesische Gleichung dafür ausarbeiten, die grafisch darstellbar ist:

Dies ist jedoch nicht die einzige Einschränkung, die angewendet werden sollte. Es wird gesagt, dass aufgrund der nicht analytischen Natur der Kuppelkurve (sie ist am Scheitelpunkt jenseits der ersten Ableitung nicht differenzierbar) mehr als eine Lösung zulässig ist. Tatsächlich ist es die Quadratwurzel, die es uns ermöglicht, die andere Lösung, die die Flugbahn eines Teilchens darstellt, das die Spitze mit Geschwindigkeit erreicht oder verlässt, leicht zu erahnen$v$an der Grenze$v = 0$.

Norton versucht, seine andere Lösung als newtonisch auszugeben, ist es aber tatsächlich nicht (zumindest an der Spitze). Dies an sich ist jedoch nicht die Quelle seiner Behauptung des Nichtdeterminismus. Das kommt daher, dass er zwei Lösungen mit unterschiedlichen Anfangsbedingungen zu einem beliebigen Zeitpunkt T zusammenfügt. Das macht keinen Sinn und hat keine physikalische Rechtfertigung.

Ich habe eine detaillierte Analyse darüber geschrieben, warum Nortons Kuppel nicht beweist, dass die Newtonsche Mechanik hier nicht deterministisch ist.